ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 50

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 261–263 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки

Завдання 261

Добуток квадратних коренів

Знайти значення добутку для чотирьох варіантів (а, б, в, г), де потрібно перемножити числа під знаком кореня.

Розв’язання

Використовуємо формулу $a \cdot b = ab$ для кожного варіанта.
Для а) $5 \cdot 18 \cdot 40 = 3600 = 60$ .
Для б) $6 \cdot 48 \cdot 50 = 14400 = 120$ .
Для в) $42 \cdot 7 \cdot 27 \cdot 18 = 1323 \cdot 486$ — спрощуємо крок за кроком: $42 = 6 \cdot 7$ , $27 = 9 \cdot 3$ , $18 = 9 \cdot 2$ , $7 = 7$ . Добуток: $(6 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (9 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 2) = 6 \cdot 7^{2} \cdot 9^{2} \cdot 3 \cdot 2 = (6 \cdot 7 \cdot 9)^{2} \cdot 6$ . Спрощення: $42 \cdot 7 = 294$ , $27 \cdot 18 = 486$ . Краще перемножити всі під коренем: $42 \cdot 7 = 294$ , $27 \cdot 18 = 486$ . $294 \cdot 486 = (2 \cdot 3 \cdot 7^{2}) \cdot (2 \cdot 3^{5}) = 2^{2} \cdot 3^{6} \cdot 7^{2}$ . Корінь: $2 \cdot 3^{3} \cdot 7 = 918$ ? Перевіримо ще раз. $42 \cdot 7 = 294$ , $27 \cdot 18 = 486$ . $294 \cdot 486 = 142884$ . $142884 = 378$ .
Для г) $15 \cdot 72 \cdot 6 \cdot 45$ . Перемножуємо: $15 \cdot 72 \cdot 6 \cdot 45 = (3 \cdot 5) \cdot (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 5) = 2^{3} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2}$ . Корінь: $2^{1.5}$ ? Ні, треба повні квадрати. $15 = 3 \cdot 5$ , $72 = 8 \cdot 9$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $45 = 9 \cdot 5$ . Добуток: $(3 \cdot 5) \cdot (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 5) = 2^{3} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2}$ . Тут є нечетна степінь двійки. Перерахуємо: $15 \cdot 72 \cdot 6 \cdot 45 = 280800$ ? Ні, $15 \cdot 72 \cdot 6 \cdot 45 = 15 \cdot 72 \cdot 6 \cdot 45$ . $15 \cdot 45 = 675$ , $72 \cdot 6 = 432$ . $675 \cdot 432 = 291600$ . $291600 = 540$ .

Відповідь:

а) $60$ ; б) $120$ ; в) $378$ ; г) $540$ .

Завдання 262

Розв'язання рівнянь з коренями

Знайти значення змінної $x$ , що задовольняє рівняння в кожному пункті (а, б, в, г, ґ, д).

Розв’язання

а) $5 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
б) $10 x = 4 \Rightarrow x = 0, 4 \Rightarrow x = 0, 16$ .
в) $6 x - 48 = 0 \Rightarrow 6 x = 48 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow x = 64$ .
г) $3 x + 20 = 0 \Rightarrow 3 x = - 20 \Rightarrow x = - 20/3$ . Оскільки $x \geq 0$ , розв'язків немає.
ґ) $4 x + 9 = 11 \Rightarrow 4 x = 2 \Rightarrow x = 0, 5 \Rightarrow x = 0, 25$ .
д) $7 - 2 x = 12 \Rightarrow - 2 x = 5 \Rightarrow x = - 2, 5$ . Оскільки $x \geq 0$ , розв'язків немає.

Відповідь:

а) $x = 0$ ; б) $x = 0, 16$ ; в) $x = 64$ ; г) розв'язків немає; ґ) $x = 0, 25$ ; д) розв'язків немає.

Завдання 263

Задача ал-Кархі (геометрія)

Знайти площу прямокутника, якщо його основа вдвічі більша за висоту ( $a = 2 h$ ), а площа чисельно дорівнює периметру ( $S = P$ ).

Розв’язання

Нехай висота прямокутника дорівнює $h$ , а основа — $a = 2 h$ .
Площа $S = a \cdot h = (2 h) \cdot h = 2 h^{2}$ . Периметр $P = 2 (a + h) = 2 (2 h + h) = 6 h$ .
За умовою $S = P$ , отже, $2 h^{2} = 6 h$ .
Розв'язуємо рівняння: $2 h^{2} - 6 h = 0 \Rightarrow 2 h (h - 3) = 0$ . Корені: $h_{1} = 0$ (не підходить, бо це не прямокутник), $h_{2} = 3$ .
Знаходимо основу: $a = 2 \cdot 3 = 6$ . Площа $S = 6 \cdot 3 = 18$ . Перевірка периметру: $P = 2 (6 + 3) = 18$ . Умова виконується.

Відповідь:

Площа прямокутника дорівнює $18$ .