Завдання 252, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 252

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣ x ∣ > 1$ ;
б) $∣ x + 2∣ > 5$ ;
в) $∣3 x + 1∣ > 5$ ;
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ ;
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ ;
д) $∣2 x - 1∣ > 1$ .

Розв’язання

а) $∣ x ∣ > 1 \Rightarrow x > 1$ або $x < - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .
б) $∣ x + 2∣ > 5 \Rightarrow x + 2 > 5$ або $x + 2 < - 5 \Rightarrow x > 3$ або $x < - 7$ . Відповідь: $(- \infty; - 7) \cup (3; + \infty)$ .
в) $∣3 x + 1∣ > 5 \Rightarrow 3 x + 1 > 5$ або $3 x + 1 < - 5 \Rightarrow 3 x > 4$ або $3 x < - 6 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$ або $x < - 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (\frac{4}{3}; + \infty)$ .
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ . Оскільки модуль завжди додатний, а $- 3$ від'ємне, нерівність виконується для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ . Модуль не може бути меншим за від'ємне число. Розв'язків немає. Відповідь: $\emptyset$ .
д) $∣2 x - 1∣ > 1 \Rightarrow 2 x - 1 > 1$ або $2 x - 1 < - 1 \Rightarrow 2 x > 2$ або $2 x < 0 \Rightarrow x > 1$ або $x < 0$ . Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 7) \cup (3; + \infty)$ ; в) $(- \infty; - 2) \cup (\frac{4}{3}; + \infty)$ ; г) $(- \infty; + \infty)$ ; ґ) $\emptyset$ ; д) $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 252 с. 48

Розв'язування нерівностей з модулем

Умова

а) $∣ x ∣ > 1$ ;
б) $∣ x + 2∣ > 5$ ;
в) $∣3 x + 1∣ > 5$ ;
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ ;
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ ;
д) $∣2 x - 1∣ > 1$ .

Що треба знати

Нерівність виду $∣ A ∣ > B$ розв'язується як $A > B$ або $A < - B$ . Якщо $B < 0$ , то нерівність виконується завжди, бо модуль не може бути від'ємним. Нерівність виду $∣ A ∣ < B$ , де $B \leq 0$ , не має розв'язків.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Згадай означення модулю: $∣ x ∣$ — це відстань від точки $x$ до нуля на координатній прямій, тому він завжди $\geq 0$ .

Розв’язання крок за кроком

а) $∣ x ∣ > 1 \Rightarrow x > 1$ або $x < - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .
б) $∣ x + 2∣ > 5 \Rightarrow x + 2 > 5$ або $x + 2 < - 5 \Rightarrow x > 3$ або $x < - 7$ . Відповідь: $(- \infty; - 7) \cup (3; + \infty)$ .
в) $∣3 x + 1∣ > 5 \Rightarrow 3 x + 1 > 5$ або $3 x + 1 < - 5 \Rightarrow 3 x > 4$ або $3 x < - 6 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$ або $x < - 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (\frac{4}{3}; + \infty)$ .
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ . Оскільки модуль завжди додатний, а $- 3$ від'ємне, нерівність виконується для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ . Модуль не може бути меншим за від'ємне число. Розв'язків немає. Відповідь: $\emptyset$ .
д) $∣2 x - 1∣ > 1 \Rightarrow 2 x - 1 > 1$ або $2 x - 1 < - 1 \Rightarrow 2 x > 2$ або $2 x < 0 \Rightarrow x > 1$ або $x < 0$ . Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?