Завдання 251, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 251

Розв'язування системи нерівностей з дробами

а) $3 x - \frac{2 x - 1}{4} < 0$ і $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 3}{4} \geq 2$ ;
б) $\frac{3 - x}{15} - \frac{x - 3}{3} > 0$ і $\frac{3 x - 2}{4} - \frac{5 x + 1}{3} > 1$ ;
в) $2 (x - 3) + 5 (x - 2) > 3 (2 - x) - 2 (3 - x)$ і $9 (x - 2) - 2 (3 x - 2) \leq 5 (x - 2) - 2 (x + 5)$ ;
г) $\frac{x - 2}{2} - \frac{2 x - 3}{3} < \frac{x - 4}{6} - \frac{x + 1}{3}$ і $\frac{x - 2}{2} + \frac{1 - 7 x}{4} - \frac{x + 11}{3} \geq \frac{5 + 2 x}{4}$ .

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
$3 x - \frac{2 x - 1}{4} < 0 \Rightarrow 12 x - (2 x - 1) < 0 \Rightarrow 10 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{10}$ ;
$\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 3}{4} \geq 2 \Rightarrow 2 (x + 1) - (x + 3) \geq 8 \Rightarrow 2 x + 2 - x - 3 \geq 8 \Rightarrow x - 1 \geq 8 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин $(- \infty; - 0, 1)$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 - x}{15} - \frac{x - 3}{3} > 0 \Rightarrow (3 - x) - 5 (x - 3) > 0 \Rightarrow 3 - x - 5 x + 15 > 0 \Rightarrow - 6 x + 18 > 0 \Rightarrow x < 3$ ;
$\frac{3 x - 2}{4} - \frac{5 x + 1}{3} > 1 \Rightarrow 3 (3 x - 2) - 4 (5 x + 1) > 12 \Rightarrow 9 x - 6 - 20 x - 4 > 12 \Rightarrow - 11 x - 10 > 12 \Rightarrow - 11 x > 22 \Rightarrow x < - 2$ .
Перетин $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; - 2)$ — проміжок $(- \infty; - 2)$ .
Розв'язуємо систему в):
$2 (x - 3) + 5 (x - 2) > 3 (2 - x) - 2 (3 - x) \Rightarrow 2 x - 6 + 5 x - 10 > 6 - 3 x - 6 + 2 x \Rightarrow 7 x - 16 > - x + 6 \Rightarrow 8 x > 22 \Rightarrow x > \frac{11}{4}$ ;
$9 (x - 2) - 2 (3 x - 2) \leq 5 (x - 2) - 2 (x + 5) \Rightarrow 9 x - 18 - 6 x + 4 \leq 5 x - 10 - 2 x - 10 \Rightarrow 3 x - 14 \leq 3 x - 20 \Rightarrow - 14 \leq - 20$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{x - 2}{2} - \frac{2 x - 3}{3} < \frac{x - 4}{6} - \frac{x + 1}{3} \Rightarrow 3 (x - 2) - 2 (2 x - 3) < (x - 4) - 2 (x + 1) \Rightarrow 3 x - 6 - 4 x + 6 < x - 4 - 2 x - 2 \Rightarrow - x < - x - 6 \Rightarrow 0 < - 6$ (неправда).
Друга нерівність: $\frac{x - 2}{2} + \frac{1 - 7 x}{4} - \frac{x + 11}{3} \geq \frac{5 + 2 x}{4} \Rightarrow 6 (x - 2) + 3 (1 - 7 x) - 4 (x + 11) \geq 3 (5 + 2 x) \Rightarrow 6 x - 12 + 3 - 21 x - 4 x - 44 \geq 15 + 6 x \Rightarrow - 19 x - 53 \geq 6 x + 15 \Rightarrow - 25 x \geq 68 \Rightarrow x \leq - \frac{68}{25}$ .
Оскільки перша нерівність не має розв'язків, об'єднання порожнє.

Відповідь:

а) $\emptyset$ ; б) $(- \infty; - 2)$ ; в) $\emptyset$ ; г) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 251 с. 48

Розв'язування системи нерівностей з дробами

Умова

Що треба знати

Спочатку розкрий дужки, якщо вони є, а потім знайди спільний знаменник для кожного дроби. Помнож нерівність на цей знаменник, щоб позбутися дробів, і зведи подібні доданки.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з першої нерівності в кожному пункті. Зверни увагу, що при множенні нерівності на від'ємне число знак нерівності треба змінити (хоча тут знаменники додатні).

Розв’язання крок за кроком

Розв'язуємо систему а):
$3 x - \frac{2 x - 1}{4} < 0 \Rightarrow 12 x - (2 x - 1) < 0 \Rightarrow 10 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{10}$ ;
$\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 3}{4} \geq 2 \Rightarrow 2 (x + 1) - (x + 3) \geq 8 \Rightarrow 2 x + 2 - x - 3 \geq 8 \Rightarrow x - 1 \geq 8 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин $(- \infty; - 0, 1)$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 - x}{15} - \frac{x - 3}{3} > 0 \Rightarrow (3 - x) - 5 (x - 3) > 0 \Rightarrow 3 - x - 5 x + 15 > 0 \Rightarrow - 6 x + 18 > 0 \Rightarrow x < 3$ ;
$\frac{3 x - 2}{4} - \frac{5 x + 1}{3} > 1 \Rightarrow 3 (3 x - 2) - 4 (5 x + 1) > 12 \Rightarrow 9 x - 6 - 20 x - 4 > 12 \Rightarrow - 11 x - 10 > 12 \Rightarrow - 11 x > 22 \Rightarrow x < - 2$ .
Перетин $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; - 2)$ — проміжок $(- \infty; - 2)$ .
Розв'язуємо систему в):
$2 (x - 3) + 5 (x - 2) > 3 (2 - x) - 2 (3 - x) \Rightarrow 2 x - 6 + 5 x - 10 > 6 - 3 x - 6 + 2 x \Rightarrow 7 x - 16 > - x + 6 \Rightarrow 8 x > 22 \Rightarrow x > \frac{11}{4}$ ;
$9 (x - 2) - 2 (3 x - 2) \leq 5 (x - 2) - 2 (x + 5) \Rightarrow 9 x - 18 - 6 x + 4 \leq 5 x - 10 - 2 x - 10 \Rightarrow 3 x - 14 \leq 3 x - 20 \Rightarrow - 14 \leq - 20$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{x - 2}{2} - \frac{2 x - 3}{3} < \frac{x - 4}{6} - \frac{x + 1}{3} \Rightarrow 3 (x - 2) - 2 (2 x - 3) < (x - 4) - 2 (x + 1) \Rightarrow 3 x - 6 - 4 x + 6 < x - 4 - 2 x - 2 \Rightarrow - x < - x - 6 \Rightarrow 0 < - 6$ (неправда).
Друга нерівність: $\frac{x - 2}{2} + \frac{1 - 7 x}{4} - \frac{x + 11}{3} \geq \frac{5 + 2 x}{4} \Rightarrow 6 (x - 2) + 3 (1 - 7 x) - 4 (x + 11) \geq 3 (5 + 2 x) \Rightarrow 6 x - 12 + 3 - 21 x - 4 x - 44 \geq 15 + 6 x \Rightarrow - 19 x - 53 \geq 6 x + 15 \Rightarrow - 25 x \geq 68 \Rightarrow x \leq - \frac{68}{25}$ .
Оскільки перша нерівність не має розв'язків, об'єднання порожнє.

Відповідь:

а) $\emptyset$ ; б) $(- \infty; - 2)$ ; в) $\emptyset$ ; г) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?