Завдання 250, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 250

Розв'язування системи нерівностей

а) $\frac{5 x - 1}{4} + \frac{x + 1}{2} < 0$ і $\frac{x - 3}{5} + \frac{x - 1}{10} \geq 2$ ;
б) $\frac{3 + x}{2} + \frac{2 - x}{3} \geq 0$ і $\frac{4 x + 3}{7} + \frac{x + 1}{2} < 2$ ;
в) $5 (x + 2) + 3 (x - 3) < 3 (x - 1) + 4 (x + 3)$ і $3 (2 x - 1) + 3 (x - 1) \geq 5 (x + 2) + 2 (2 x + 3)$ ;
г) $\frac{3 - 2 x}{2} - \frac{x - 1}{3} > \frac{5 - 3 x}{4} - \frac{4 x + 3}{6}$ і $\frac{6 x - 5}{3} - \frac{11 + 7 x}{5} < \frac{4 x + 3}{5} - \frac{2 x + 3}{10}$ .

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
$\frac{5 x - 1}{4} + \frac{x + 1}{2} < 0 \Rightarrow 5 x - 1 + 2 (x + 1) < 0 \Rightarrow 7 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{7}$ ;
$\frac{x - 3}{5} + \frac{x - 1}{10} \geq 2 \Rightarrow 2 (x - 3) + (x - 1) \geq 20 \Rightarrow 3 x - 7 \geq 20 \Rightarrow 3 x \geq 27 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин множин $(- \infty; - \frac{1}{7})$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 + x}{2} + \frac{2 - x}{3} \geq 0 \Rightarrow 3 (3 + x) + 2 (2 - x) \geq 0 \Rightarrow 9 + 3 x + 4 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \geq - 13$ ;
$\frac{4 x + 3}{7} + \frac{x + 1}{2} < 2 \Rightarrow 2 (4 x + 3) + 7 (x + 1) < 28 \Rightarrow 8 x + 6 + 7 x + 7 < 28 \Rightarrow 15 x < 15 \Rightarrow x < 1$ .
Перетин $[- 13; + \infty)$ і $(- \infty; 1)$ — проміжок $[- 13; 1)$ .
Розв'язуємо систему в):
$5 (x + 2) + 3 (x - 3) < 3 (x - 1) + 4 (x + 3) \Rightarrow 5 x + 10 + 3 x - 9 < 3 x - 3 + 4 x + 12 \Rightarrow 8 x + 1 < 7 x + 9 \Rightarrow x < 8$ ;
$3 (2 x - 1) + 3 (x - 1) \geq 5 (x + 2) + 2 (2 x + 3) \Rightarrow 6 x - 3 + 3 x - 3 \geq 5 x + 10 + 4 x + 6 \Rightarrow 9 x - 6 \geq 9 x + 16 \Rightarrow - 6 \geq 16$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{3 - 2 x}{2} - \frac{x - 1}{3} > \frac{5 - 3 x}{4} - \frac{4 x + 3}{6} \Rightarrow 6 (3 - 2 x) - 4 (x - 1) > 3 (5 - 3 x) - 2 (4 x + 3) \Rightarrow 18 - 12 x - 4 x + 4 > 15 - 9 x - 8 x - 6 \Rightarrow - 16 x + 22 > - 17 x + 9 \Rightarrow x > - 13$ ;
$\frac{6 x - 5}{3} - \frac{11 + 7 x}{5} < \frac{4 x + 3}{5} - \frac{2 x + 3}{10} \Rightarrow 10 (6 x - 5) - 2 (11 + 7 x) < 2 (4 x + 3) - (2 x + 3) \Rightarrow 60 x - 50 - 22 - 14 x < 8 x + 6 - 2 x - 3 \Rightarrow 46 x - 72 < 6 x + 3 \Rightarrow 40 x < 75 \Rightarrow x < \frac{15}{8}$ .
Перетин $(- 13; + \infty)$ і $(- \infty; \frac{15}{8})$ — проміжок $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Відповідь:

а) $\emptyset$ (порожня множина); б) $[- 13; 1)$ ; в) $\emptyset$ (порожня множина); г) $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 250 с. 48

Розв'язування системи нерівностей

Умова

Що треба знати

Щоб знайти об'єднання множин розв'язків, треба окремо розв'язати кожну нерівність системи і записати відповідні проміжки. Переріз (перетин) цих проміжків дасть остаточний розв'язок.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для першої нерівності в кожному пункті знайди спільний знаменник, помнож обидві частини на нього і зведи подібні доданки. Зроби те саме для другої нерівності.

Розв’язання крок за кроком

Розв'язуємо систему а):
$\frac{5 x - 1}{4} + \frac{x + 1}{2} < 0 \Rightarrow 5 x - 1 + 2 (x + 1) < 0 \Rightarrow 7 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{7}$ ;
$\frac{x - 3}{5} + \frac{x - 1}{10} \geq 2 \Rightarrow 2 (x - 3) + (x - 1) \geq 20 \Rightarrow 3 x - 7 \geq 20 \Rightarrow 3 x \geq 27 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин множин $(- \infty; - \frac{1}{7})$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 + x}{2} + \frac{2 - x}{3} \geq 0 \Rightarrow 3 (3 + x) + 2 (2 - x) \geq 0 \Rightarrow 9 + 3 x + 4 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \geq - 13$ ;
$\frac{4 x + 3}{7} + \frac{x + 1}{2} < 2 \Rightarrow 2 (4 x + 3) + 7 (x + 1) < 28 \Rightarrow 8 x + 6 + 7 x + 7 < 28 \Rightarrow 15 x < 15 \Rightarrow x < 1$ .
Перетин $[- 13; + \infty)$ і $(- \infty; 1)$ — проміжок $[- 13; 1)$ .
Розв'язуємо систему в):
$5 (x + 2) + 3 (x - 3) < 3 (x - 1) + 4 (x + 3) \Rightarrow 5 x + 10 + 3 x - 9 < 3 x - 3 + 4 x + 12 \Rightarrow 8 x + 1 < 7 x + 9 \Rightarrow x < 8$ ;
$3 (2 x - 1) + 3 (x - 1) \geq 5 (x + 2) + 2 (2 x + 3) \Rightarrow 6 x - 3 + 3 x - 3 \geq 5 x + 10 + 4 x + 6 \Rightarrow 9 x - 6 \geq 9 x + 16 \Rightarrow - 6 \geq 16$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{3 - 2 x}{2} - \frac{x - 1}{3} > \frac{5 - 3 x}{4} - \frac{4 x + 3}{6} \Rightarrow 6 (3 - 2 x) - 4 (x - 1) > 3 (5 - 3 x) - 2 (4 x + 3) \Rightarrow 18 - 12 x - 4 x + 4 > 15 - 9 x - 8 x - 6 \Rightarrow - 16 x + 22 > - 17 x + 9 \Rightarrow x > - 13$ ;
$\frac{6 x - 5}{3} - \frac{11 + 7 x}{5} < \frac{4 x + 3}{5} - \frac{2 x + 3}{10} \Rightarrow 10 (6 x - 5) - 2 (11 + 7 x) < 2 (4 x + 3) - (2 x + 3) \Rightarrow 60 x - 50 - 22 - 14 x < 8 x + 6 - 2 x - 3 \Rightarrow 46 x - 72 < 6 x + 3 \Rightarrow 40 x < 75 \Rightarrow x < \frac{15}{8}$ .
Перетин $(- 13; + \infty)$ і $(- \infty; \frac{15}{8})$ — проміжок $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Відповідь:

а) $\emptyset$ (порожня множина); б) $[- 13; 1)$ ; в) $\emptyset$ (порожня множина); г) $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Розбір зрозумілий?