Завдання 253, § 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 253

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣5 x ∣ > 2$ ; б) $∣ x - 1∣ > 3$ ; в) $∣5 - 2 x ∣ > 3$ ; г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ ; ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ ; д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ .

Розв’язання

а) $∣5 x ∣ > 2 \Rightarrow 5 x > 2$ або $5 x < - 2$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
б) $∣ x - 1∣ > 3 \Rightarrow x - 1 > 3$ або $x - 1 < - 3$ . Знаходимо відповідні проміжки та об'єднуємо їх.
в) $∣5 - 2 x ∣ > 3 \Rightarrow 5 - 2 x > 3$ або $5 - 2 x < - 3$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , рівність виконується лише при $x - 1 = 0$ .
ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ . Оскільки модуль будь-якого числа не від'ємний, а $- 7$ від'ємне, ця нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , він не може бути меншим за від'ємне число $- 2$ , тому розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 4) \cup (0, 4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$ ; г) ${1}$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки Завдання 253 с. 48

Розв'язування нерівностей з модулем

Умова

а) $∣5 x ∣ > 2$ ; б) $∣ x - 1∣ > 3$ ; в) $∣5 - 2 x ∣ > 3$ ; г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ ; ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ ; д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ .

Що треба знати

Нерівність виду $∣ A ∣ > B$ (де $B > 0$ ) розв'язується як об'єднання двох нерівностей: $A > B$ або $A < - B$ . Нерівність $∣ A ∣ ⩽ 0$ має єдиний розв'язок $A = 0$ , оскільки модуль завжди невід'ємний. Нерівність $∣ A ∣ < B$ , де $B < 0$ , не має розв'язків, бо модуль не може бути від'ємним.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пунктів а), б), в) запиши дві нерівності без модуля і знайди їх спільні розв'язки (об'єднання). Для пункту г) проаналізуй властивість модуля. Для пунктів ґ) та д) згадай, що значення модулю завжди $⩾ 0$ .

Розв’язання крок за кроком

а) $∣5 x ∣ > 2 \Rightarrow 5 x > 2$ або $5 x < - 2$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
б) $∣ x - 1∣ > 3 \Rightarrow x - 1 > 3$ або $x - 1 < - 3$ . Знаходимо відповідні проміжки та об'єднуємо їх.
в) $∣5 - 2 x ∣ > 3 \Rightarrow 5 - 2 x > 3$ або $5 - 2 x < - 3$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , рівність виконується лише при $x - 1 = 0$ .
ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ . Оскільки модуль будь-якого числа не від'ємний, а $- 7$ від'ємне, ця нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , він не може бути меншим за від'ємне число $- 2$ , тому розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 4) \cup (0, 4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$ ; г) ${1}$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Розбір зрозумілий?