ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 47

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 239–246 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки

Завдання 239

Встановлення нерівності за проміжком

Знайти лінійну нерівність, множина розв'язків якої дорівнює заданому числовому проміжку. Варіанти: а) $(3; + \infty)$ ; б) $(- 2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 7]$ ; г) $[- 3; + \infty)$ .

Розв’язання

Для варіанту а) проміжок $(3; + \infty)$ починається з 3 і не включає його, отже це $x > 3$ .
Для варіанту б) проміжок $(- 2; + \infty)$ починається з -2 і не включає його, отже це $x > - 2$ .
Для варіанту в) проміжок $(- \infty; 7]$ закінчується на 7 і включає його, отже це $x \leq 7$ .
Для варіанту г) проміжок $[- 3; + \infty)$ починається з -3 і включає його, отже це $x \geq - 3$ .

Відповідь:

а) $x > 3$ ; б) $x > - 2$ ; в) $x \leq 7$ ; г) $x \geq - 3$ .

Завдання 240

Перетворення графічного зображення на нерівність

Знайти лінійну нерівність, множина розв'язків якої зображена на малюнку 5.17 (з попередньої сторінки) та 5.18 (на цій сторінці). На мал. 5.17 проміжок від -4 до -1 без крапок (відкритий), на мал. 5.18 — від -2 до 3 без крапок (відкритий).

Розв’язання

Мал. 5.17 показує проміжок від -4 до -1, де обидві точки не включені (кружечки), отже це $- 4 < x < - 1$ .
Мал. 5.18 показує проміжок від -2 до 3, де обидві точки не включені (кружечки), отже це $- 2 < x < 3$ .

Відповідь:

а) $- 4 < x < - 1$ ; б) $- 2 < x < 3$ .

Завдання 241

Об'єднання та переріз числових проміжків (англійською)

Знайти об'єднання ( $\cup$ ) і переріз ( $\cap$ ) для пар проміжків. а) $[2; 3]$ і $[3; 5]$ ; б) $[- 5; 0]$ і $[- 3; 0]$ ; в) $[- 5; 7]$ і $[- 7; 5)$ ; г) $(1; 2)$ і $(- 2; 1)$ ; д) $(- 2; - 1)$ і $[- 3; - 1]$ ; е) $(- \infty; 2)$ і $[- 2; + \infty)$ .

Розв’язання

а) Об'єднання: від 2 до 5 (включаючи 3), тобто $[2; 5]$ . Переріз: спільна частина — точка 3, але оскільки в одній дужці кругла, а в іншій квадратна, і точки збігаються, переріз ${3}$ або порожній, якщо розглядати як відкриті. Тут $[2; 3] \cap [3; 5] = {3}$ .
б) Об'єднання: від -5 до 0, тобто $[- 5; 0]$ . Переріз: спільна частина $[- 3; 0]$ .
в) Об'єднання: від -7 до 7, тобто $[- 7; 7)$ . Переріз: спільна частина $[- 5; 5)$ .
г) Об'єднання: від -2 до 2, тобто $(- 2; 2)$ . Переріз: порожній набір $\emptyset$ , оскільки проміжки не перетинаються (межа 1 в одному відкрита).
д) Об'єднання: від -3 до -1, тобто $[- 3; - 1]$ . Переріз: спільна частина $(- 2; - 1)$ , оскільки $- 2$ не входить у перший проміжок.
е) Об'єднання: від -2 до 2, тобто $[- 2; 2)$ . Переріз: порожній набір $\emptyset$ , оскільки проміжки не перетинаються (межа 2 в одному відкрита).

Відповідь:

а) $\cup : [2; 5]$ , $\cap : {3}$ ; б) $\cup : [- 5; 0]$ , $\cap : [- 3; 0]$ ; в) $\cup : [- 7; 7)$ , $\cap : [- 5; 5)$ ; г) $\cup : (- 2; 2)$ , $\cap : \emptyset$ ; д) $\cup : [- 3; - 1]$ , $\cap : (- 2; - 1)$ ; е) $\cup : [- 2; 2)$ , $\cap : \emptyset$ .

Завдання 242

Об'єднання та переріз проміжків

Знайти об'єднання ( $\cup$ ) і переріз ( $\cap$ ) числових проміжків для пар: а) $(0; 3)$ і $(0; 5)$ ; б) $(- 2; 0)$ і $(- 3; 0)$ ; в) $(- \infty; 1)$ і $(0; 2)$ ; г) $(- 2; + \infty)$ і $(0; + \infty)$ .

Розв’язання

а) Об'єднання: від $0$ до $5$ , точки не включені $\to (0; 5)$ . Переріз: спільна частина від $0$ до $3$ , точки не включені $\to (0; 3)$ .
б) Об'єднання: від $- 3$ до $0$ , точки не включені $\to (- 3; 0)$ . Переріз: спільна частина від $- 2$ до $0$ , точки не включені $\to (- 2; 0)$ .
в) Об'єднання: від $- \infty$ до $2$ , точки не включені $\to (- \infty; 2)$ . Переріз: проміжки не перетинаються (один закінчується на $1$ , інший починається на $0$ , але границі відкриті), спільної частки немає, якщо розглядати як суцільні лінії, але формально $(\emptyset)$ або порожня множина. Перевіримо: $(- \infty; 1) \cap (0; 2) = (0; 1)$ .
г) Об'єднання: від $- 2$ до $+ \infty$ , точки не включені $\to (- 2; + \infty)$ . Переріз: спільна частина від $0$ до $+ \infty \to (0; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $\cup : (0; 5), \cap : (0; 3)$ ; б) $\cup : (- 3; 0), \cap : (- 2; 0)$ ; в) $\cup : (- \infty; 2), \cap : (0; 1)$ ; г) $\cup : (- 2; + \infty), \cap : (0; + \infty)$ .

Завдання 243

Розв'язання систем лінійних нерівностей

Знайти розв'язки систем нерівностей: а) $5 x - 3 > 12$ і $3 x + 5 \geq 11$ ; б) $0, 5 x + 2, 6 > 3$ і $1 + 2 x < 7$ ; в) $5 - 3 x < 2$ і $- 1, 3 x - 9 \leq 4$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу: $5 x > 15 \Rightarrow x > 3$ . Другу: $3 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$ . Переріз проміжків $(3; + \infty)$ і $[2; + \infty)$ — це $(3; + \infty)$ .
б) Розв'язуємо першу: $0, 5 x > 0, 4 \Rightarrow x > 0, 8$ . Другу: $2 x < 6 \Rightarrow x < 3$ . Переріз проміжків $(0, 8; + \infty)$ і $(- \infty; 3)$ — це $(0, 8; 3)$ .
в) Розв'язуємо першу: $- 3 x < - 3 \Rightarrow x > 1$ . Другу: $- 1, 3 x \leq 13 \Rightarrow x \geq - 10$ . Переріз проміжків $(1; + \infty)$ і $[- 10; + \infty)$ — це $(1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (3; + \infty)$ ; б) $x \in (0, 8; 3)$ ; в) $x \in (1; + \infty)$ .

Завдання 244

Розв'язання складених систем нерівностей

Знайти розв'язки систем нерівностей: а) $3 x \leq 1 - 2 x$ і $- 2 x < 3 x + 5$ ; б) $5 x > x - 2$ і $- 2 x > 9 - 5 x$ .

Розв’язання

а) Перша: $5 x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0, 2$ . Друга: $- 5 < 5 x \Rightarrow x > - 1$ . Переріз проміжків $(- 1; + \infty)$ і $(- \infty; 0, 2]$ — це $(- 1; 0, 2]$ .
б) Перша: $4 x > - 2 \Rightarrow x > - 0, 5$ . Друга: $- 2 x + 5 x > 9 \Rightarrow 3 x > 9 \Rightarrow x > 3$ . Переріз проміжків $(- 0, 5; + \infty)$ і $(3; + \infty)$ — це $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 1; 0, 2]$ ; б) $x \in (3; + \infty)$ .

Завдання 245

Область визначення функції

Знайти область визначення функції $y = \frac{x}{x - 1}$ .

Розв’язання

Запишемо умову визначеності функції: $x - 1 \neq = 0$ .
Розв'яжемо рівняння $x - 1 = 0$ , щоб знайти заборонене значення: $x = 1$ .
Отже, функція визначена для всіх $x$ , крім $1$ . Область визначення — це об'єднання двох проміжків: від мінус нескінченності до $0$ і від $0$ до плюс нескінченності (або просто всі числа, крім $1$ ).

Відповідь:

$(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ — НЕВІРНО, правильна відповідь з варіантів: В $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 246

Область визначення функцій

Знайти область визначення функції $f (x)$ , якщо вона задана формулою в пунктах а), б), в). Умова включає обмеження для кореня ( $x + 6 \geq 0$ ), знаменника ( $x - 2 \neq = 0$ ), виразу під знаком кореня ( $12 - 4 x \geq 0$ ) та знаменника ( $x^{2} - 1 \neq = 0$ ).

Розв’язання

Для пункту а) розв'яжи $x + 6 \geq 0$ ( $x \geq - 6$ ) та $x - 2 \neq = 0$ ( $x \neq = 2$ ). Область визначення: $[- 6; 2) \cup (2; + \infty)$ .
Для пункту б) розв'яжи $12 - 4 x \geq 0$ ( $x \leq 3$ ) та $x^{2} - 1 \neq = 0$ ( $x \neq = \pm 1$ ). Область визначення: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; 3]$ .
Для пункту в) розв'яжи $∣ x ∣ - 4 \neq = 0$ ( $x \neq = \pm 4$ ) та $3 x + 21$ ( $3 x + 21 \geq 0$ , що справджується для всіх $x \geq - 7$ , а оскільки ми шукаємо перетин з умовою знаменника, то проміжок $[- 7; + \infty)$ без точок $\pm 4$ ). Область визначення: $[- 7; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[- 6; 2) \cup (2; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; 3]$ ; в) $[- 7; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ .