Сторінка 46

Розв’язання

1. а) Знайдемо спільні елементи для $A$ і $B$: це $0$ та $2$. Отже, переріз $A\cap B=\{0,2\}$. Об'єднаємо всі числа з обох множин без повторень: $\{-6,-4,0,2,4,6,8\}$.

2. б) Шукаємо спільні літери в словах «ШКОЛА» та «ДІОКЛА» (або просто у списках): це О, Ш, К, А. Отже, переріз $A\cap B=\{\text{О},\text{Ш},\text{К},\text{А}\}$. Об'єднаємо всі літери: $\{\text{Д},\text{О},\text{Л},\text{Ш},\text{К},\text{А}\}$.

Розв’язання

1. Перевіримо варіант А: $(0;1)\cup (1;2)$. Точка $1$ не належить ні одному з проміжків, тому вона не входить до об'єднання. Результат буде $(0;1)\cup (1;2)$, що відрізняється від $(0;2)$. Це хибне твердження.

2. Перевіримо варіант Б: $(0;1)\cup [1;2)$. Точка $1$ належить другому проміжку, тому вона входить до об'єднання. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

3. Перевіримо варіант В: $(0;1]\cup [1;2)$. Точка $1$ належить обома проміжками. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

4. Перевіримо варіант Г: $(0;1]\cup (1;2)$. Точка $1$ належить першому проміжку. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

Розв’язання

1. Варіант А: $(-1;3)\cap (3;5)$. Точка $3$ не належить ні одному з проміжків (обидві дужки круглі). Перерізу немає (порожня множина).

2. Варіант Б: $(-1;3)\cap [3;5)$. Точка $3$ не належить першому проміжку. Перерізу немає.

3. Варіант В: $(-1;3]\cap [3;5)$. Точка $3$ належить першому проміжку (квадратна дужка справа) і другому проміжку (квадратна дужка зліва). Переріз — це одна точка $\{3\}$.

4. Варіант Г: $(-1;3]\cap (3;5)$. Точка $3$ не належить другому проміжку. Перерізу немає.

Розв’язання

1. Проаналізуємо кожний підпункт окремо:
   а) Проміжок $(1;8)$ відкритий з обох боків, тому цілі числа починаються з $2$ і закінчуються на $7$. Відповідь: $2,3,4,5,6,7$.
   б) Проміжок $[1;8]$ закритий з обох боків, тому включає межі. Відповідь: $1,2,3,4,5,6,7,8$.
   в) Проміжок $[-3;4]$ закритий, включає $-3$ і $4$. Відповідь: $-3,-2,-1,0,1,2,3,4$.
   г) Проміжок $(-3;4)$ відкритий, не включає $-3$ і $4$. Відповідь: $-2,-1,0,1,2,3$.
   ґ) Проміжок $(-3;4]$ відкритий зліва ($-3$ не входить), закритий справа ($4$ входить). Відповідь: $-2,-1,0,1,2,3,4$.
   д) Проміжок $[-3;4)$ закритий зліва ($-3$ входить), відкритий справа ($4$ не входить). Відповідь: $-3,-2,-1,0,1,2,3$.

Розв’язання

1. Найменше ціле число, що більше за $-2,07$, це $-2$ (оскільки $-3<-2,07<-2$).

2. Найбільше ціле число, що менше за $15,9$, це $15$ (оскільки $15<15,9<16$).

3. Перелічимо цілі числа: від $-2$ до $15$ включно. Кількість таких чисел обчислимо як $(15-(-2))+1=17+1=18$.

Розв’язання

1. Оцінимо корінь: оскільки $25<27<36$, то $\sqrt{25}<\sqrt{27}<\sqrt{36}$, отже $5<\sqrt{27}<6$.

2. Додамо $-1$ до нерівності: $4<-1+\sqrt{27}<5$.

3. Поділимо всі частини на $2$: $2<\frac{-1+\sqrt{27}}{2}<2,5$.

4. Отже, значення виразу лежить у проміжку $(2;2,5)$. Цей проміжок повністю міститься в інтервалі $[2;3)$.

Розв’язання

1. Переріз ($\cap$) складається з елементів, що є спільними для обох множин. Оскільки перша множина не містить чисел рівних $a$ та $b$, а друга — точно так само, то спільних елементів немає.

2. Об'єднання ($\cup$) складається з усіх елементів, що належать хоча б одній із множин. Це всі числа від $a$ до $b$, крім випадку рівності кінцевих точок, які в обох випадках виключені.

Розв’язання

1. Для відрізка обираємо точки $1$ і $5$, включаючи їх: $[1;5]$.

2. Для інтервалу обираємо ті самі точки, але виключаємо їх: $(1;5)$.

Розв’язання

1. Беремо число $-2$ як ліву межу.

2. Правий кінець — це нескінченність.

3. Оскільки ми беремо всі числа більше за $-2$, але не включаємо саму точку $-2$, використовуємо круглі дужки.

Розв’язання

1. Перевіримо спільні елементи (переріз): у множині $A$ є квадрат $\square$ та мінус у колі $\ominus$. У множині $B$ теж є $\square$ та $\ominus$. Отже, спільними є саме ці два символи.

2. Зберемо всі унікальні елементи для об'єднання: це всі символи з обох списків разом без повторень ($\odot ,\square ,\oplus ,\ominus ,⊞,⊠,\boxminus$).

Розв’язання

1. Придумай або запиши два переліки предметів/чисел (наприклад, фрукти та овочі).

2. Спільними елементами (переріз) будуть ті предмети, які є і в першому, і в другому списку (наприклад, якщо у першому «яблуко», а у другому «яблуко» і «груша», то спільне — лише «яблуко»).

3. Об'єднанням буде список всіх предметів з обох списків разом, дублікати прибираємо.

Розв’язання

1. Для пункту а) $(2;+\infty )$: знайди точку $2$, постав кружечок (відкритий кінець) і проведи стрілку вправо до нескінченності.

2. Для пункту б) $(-\infty ;0)$: знайди точку $0$, постав кружечок і проведи стрілку вліво до нескінченності.

3. Для пункту в) $[-3;+\infty )$: знайди точку $-3$, постав закрашену точку (включена межа) і проведи стрілку вправо.

4. Для пункту г) $(-\infty ;-4]$: знайди точку $-4$, постав закрашену точку і проведи стрілку вліво.

Розв’язання

1. а) Оскільки $x<3$, число 3 не входить до множини. Малюємо проміжок, що йде вліво від точки 3 з «оком» у точці 3.

2. б) Оскільки $x\ge -2$, число -2 входить до множини. Малюємо відрізок або проміжок, що йде вправо від точки -2 з точкою в точці -2.

3. в) Оскільки $x\le 0$, число 0 входить до множини. Малюємо відрізок або проміжок, що йде вліво від точки 0 з точкою в точці 0.

4. г) Оскільки $x>7$, число 7 не входить до множини. Малюємо проміжок, що йде вправо від точки 7 з «оком» у точці 7.

Розв’язання

1. Ліва межа — число -1. Точка закрашена, отже знак $\ge$. Проміжок починається з $-1$.

2. Права межа — число 5. Точка «око», отже знак $<$. Проміжок закінчується на 5.

3. Об'єднуємо межі: проміжок від -1 (включно) до 5 (не включно).