ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 233

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1182–1188 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1182

Аналіз гістограми населення

На гістограмі (мал. 22.7) зображено кількість людей кожного віку в містечку. Потрібно знайти загальну кількість людей, кількість людей старше 30 років, інтервал, що містить 20% населення, середнє арифметичне віку та ймовірність обрати людину віком від 60 до 70 років.

Розв’язання

Визначаємо кількість людей за кожним віковим інтервалом згідно з висотою стовпчиків на малюнку 22.7:
- $0 - 10$ років: $2$ людини;
- $10 - 20$ років: $4$ людини;
- $20 - 30$ років: $6$ людей;
- $30 - 40$ років: $10$ людей;
- $40 - 50$ років: $17$ людей (стовпчик між 16 і 18);
- $50 - 60$ років: $12$ людей;
- $60 - 70$ років: $6$ людей;
- $70 - 80$ років: $3$ людини.
Знаходимо загальну кількість людей, додавши всі значення: $2 + 4 + 6 + 10 + 17 + 12 + 6 + 3 = 60$ .
Сума людей старше 30 років (інтервали $30 - 40$ , $40 - 50$ , $50 - 60$ , $60 - 70$ , $70 - 80$ ): $10 + 17 + 12 + 6 + 3 = 48$ .
Знаходимо загальну кількість людей у кожному інтервалі, помножену на середнє значення віку в цьому інтервалі (наприклад, для $0 - 10$ беремо $5$ , для $10 - 20$ — $15$ тощо), щоб знайти сумарний вік:
- $0 - 10$ : $2 \cdot 5 = 10$ ;
- $10 - 20$ : $4 \cdot 15 = 60$ ;
- $20 - 30$ : $6 \cdot 25 = 150$ ;
- $30 - 40$ : $10 \cdot 35 = 350$ ;
- $40 - 50$ : $17 \cdot 45 = 765$ ;
- $50 - 60$ : $12 \cdot 55 = 660$ ;
- $60 - 70$ : $6 \cdot 65 = 390$ ;
- $70 - 80$ : $3 \cdot 75 = 225$ .
Сума віків: $10 + 60 + 150 + 350 + 765 + 660 + 390 + 225 = 2610$ .
Середнє арифметичне: $\frac{2610}{60} = 43, 5$ років.
Для інтервалу $20 - 30$ кількість людей $6$ , що становить $\frac{6}{60} \cdot 100% = 10%$ . Для інтервалу $40 - 50$ кількість $17$ , що становить $\approx 28, 3%$ . Сума для інтервалів $30 - 40$ ( $10$ ) та $40 - 50$ ( $17$ ) дає $27$ людей ( $45%$ ). Інтервал $20 - 30$ ( $6$ ) + $30 - 40$ ( $10$ ) = $16$ ( $26, 6%$ ). Перевіримо інтервал $40 - 50$ : $17/60 \approx 28, 3%$ . Інтервал $30 - 40$ : $10/60 \approx 16, 6%$ . Сума $30 - 40$ та $40 - 50$ : $27/60 = 45%$ . Інтервал $20 - 30$ : $6/60 = 10%$ . Інтервал $10 - 20$ : $4/60 \approx 6, 6%$ . Інтервал $0 - 10$ : $2/60 \approx 3, 3%$ .
Шукаємо інтервал з частотою близько $20%$ ( $12$ людей). Це сума інтервалів $40 - 50$ ( $17$ ) та частини іншого? Ні, треба точний інтервал. Перевіримо: $12$ людей — це $20%$ від $60$ . У нас немає стовпчика висотою $12$ , окрім інтервалу $50 - 60$ . Отже, віковий інтервал $50 - 60$ років містить $20%$ населення.
(Примітка: Якщо розглядати сусідні інтервали, то $30 - 40$ ( $10$ ) + частина $40 - 50$ не дає круглого числа. Найближче ціле — інтервал $50 - 60$ ).

Відповідь:

1) $60$ людей; 2) $48$ людям; 3) $50 - 60$ років; 4) $43, 5$ років; 5) $\frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ (або $0, 1$ ).

Завдання 1183

Ймовірність виграшу в лотереї

На $1000$ білетів лотереї припадає $1$ виграш $1000$ грн, $10$ виграшів по $200$ грн, $50$ — по $100$ грн, $100$ — по $50$ грн. Решта білетів не виграшні. Знайти ймовірність виграшу на один білет сумою не меншою від $100$ грн.

Розв’язання

Визначаємо кількість сприятливих білетів (виграш $\geq 100$ грн):
- $1$ білет з виграшем $1000$ грн;
- $10$ білетів з виграшем $200$ грн;
- $50$ білетів з виграшем $100$ грн.
Загальна кількість сприятливих білетів: $1 + 10 + 50 = 61$ .
Загальна кількість білетів становить $1000$ .
Обчислюємо ймовірність: $P = \frac{61}{1000} = 0, 061$ .

Відповідь:

$0, 061$ (або $\frac{61}{1000}$ ).

Завдання 1184

Ймовірність якості деталей

У партії зі $100$ деталей $75$ деталей першого сорту, $15$ — другого, $8$ — третього і $2$ деталі браковані. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться першого або другого сорту.

Розв’язання

Визначаємо кількість сприятливих випадків (деталі першого або другого сорту):
- Деталей першого сорту: $75$ ;
- Деталей другого сорту: $15$ .
Сума: $75 + 15 = 90$ деталей.
Загальна кількість деталей у партії: $100$ .
Обчислюємо ймовірність: $P = \frac{90}{100} = \frac{9}{10} = 0, 9$ .

Відповідь:

$0, 9$ (або $\frac{9}{10}$ ).

Завдання 1185

Ймовірність за умовою діапазону чисел

Із 10 карток, пронумерованих числами від 1 до 10, виймають одну. Знайти ймовірність того, що номер вийнятої картки буде меншим за 7 і більшим за 3.

Розв’язання

Запишемо всі можливі номери карток: ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ . Загальна кількість випадків $n = 10$ .
Знайдемо числа, які є більшими за 3 і меншими за 7: це числа ${4, 5, 6}$ . Кількість сприятливих випадків $m = 3$ .
Обчислимо ймовірність: $P = \frac{3}{10}$ .

Відповідь:

$\frac{3}{10}$

Завдання 1186

Ймовірність кратності числам

Із 15 карток, пронумерованих числами від 1 до 15, виймають одну. Знайти ймовірність того, що номер вийнятої картки є: а) кратним 3; б) кратним 4.

Розв’язання

Розглянемо випадок а): числа, кратні 3 у межах від 1 до 15: $3, 6, 9, 12, 15$ . Їх кількість $m_{a} = 5$ . Загальна кількість карток $n = 15$ . Ймовірність $P_{a} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .
Розглянемо випадок б): числа, кратні 4 у межах від 1 до 15: $4, 8, 12$ . Їх кількість $m_{b} = 3$ . Загальна кількість карток $n = 15$ . Ймовірність $P_{b} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ .

Відповідь:

а) $\frac{1}{3}$ ; б) $\frac{1}{5}$

Завдання 1187

Ймовірність відсутності цифри в числі

В урні є 30 жетонів з номерами від 1 до 30. Знайти ймовірність того, що витягнутий жетон не міститиме цифри 6.

Розв’язання

Загальна кількість жетонів $n = 30$ .
Знайдемо числа, що містять цифру 6: це $6, 16, 26$ . Також треба перевірити число 60, але воно не входить у діапазон до 30. Отже, сприятливих чисел (без цифри 6) менше на 3. Кількість жетонів без цифри 6: $m = 30 - 3 = 27$ .
Обчислимо ймовірність: $P = \frac{27}{30}$ . Спростимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на 3: $\frac{9}{10}$ .

Відповідь:

$\frac{9}{10}$

Завдання 1188

Відповідність подій і ймовірностей

На полиці лежить 56 пачок чіпсів, з яких 30 — зі смаком паприки, а решта (26) — зі смаком бекону. Потрібно встановити відповідність між подіями (1–4) та ймовірностями (А–Д).

Розв’язання

Загальна кількість пачок $n = 56$ . Кількість пачок зі смаком паприки $m_{1} = 30$ , зі смаком бекону $m_{2} = 56 - 30 = 26$ .
Подія 1 (бекон): $P_{1} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}$ . Це відповідає варіанту В.
Подія 2 (паприка): $P_{2} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$ . Це відповідає варіанту А.
Подія 3 (будь-які чіпси): $P_{3} = \frac{56}{56} = 1$ . Це відповідає варіанту Г.
Подія 4 (сухаріки з хріном): таких пачок немає, тому $P_{4} = 0$ . Це відповідає варіанту Д.

Відповідь:

1 — В, 2 — А, 3 — Г, 4 — Д.