Сторінка 234

Розв’язання

1. Позначимо множину науковців, що знають англійську, як $A$ ($|A|=90$), а німецьку — як $B$ ($|B|=85$). Перетин множин (знають обидві мови) дорівнює 80.

2. Знайдемо кількість науковців, що володіють хоча б однією мовою: $90+85-80=95$.

3. Кількість науковців, що не знають жодної мови, дорівнює загальній кількості мінус ті, хто знає хоча б одну: $100-95=5$.

4. Обчислимо ймовірності: а) $P(A\cup B)=\frac{95}{100}=0,95$; б) $P(\text{нічого не знають})=\frac{5}{100}=0,05$.

Розв’язання

1. Загальна кількість пластинок доміно дорівнює $\frac{7\cdot 8}{2}=28$.

2. а) Знайдемо пари чисел, сума яких дорівнює 9: $(2;7),(3;6),(4;5)$ та їх перестановки, а також $(0;9)$ не існує, бо на доміно максимум 6. Правильні пари для суми 9: $(3;6),(4;5),(5;4),(6;3)$. Також є пара $(2;7)$? Ні, максимальне число — 6. Перевіримо: $3+6=9$, $4+5=9$, $5+4=9$, $6+3=9$. Ще є $(0;9)$ — немає. А що з $(1;8)$? Немає. Залишаються пари $(2,7)$ — немає. Перевіримо ще раз: суми 9 дають пари $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$. Це 4 пластинки.
   Виправлення: На доміно числа від 0 до 6. Суми: $0+9$ (неможливо), $1+8$ (неможливо), $2+7$ (неможливо), $3+6=9$, $4+5=9$. Отже, пари $(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)$. Разом 4 пластинки.
   Але: чи є інші? $0+9$ ні. $1+8$ ні. $2+7$ ні. Тільки $3+6$ і $4+5$. Отже, 4 пластинки.
   Перевірка: Можливо я помиляюсь у загальній кількості? Ні, 28 вірно.
   Ще раз: Суми очок: $0+1=1\dots 6+6=12$.
   Сума 9: $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$. Кількість — 4.
   Ймовірність: $\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$.

3. б) Більш ніж 9 очок (сума 10, 11, 12):
   Сума 10: $(4,6),(5,5),(6,4)$ — 3 пластинки.
   Сума 11: $(5,6),(6,5)$ — 2 пластинки.
   Сума 12: $(6,6)$ — 1 пластинка.
   Разом: $3+2+1=6$ пластинок.
   Ймовірність: $\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$.

4. в) Менш ніж 9 очок (сума від 0 до 8):
   Загальна кількість 28. Віднімемо ті, що мають суму $\ge 9$ (тобто 4 для пункту а і 6 для пункту б). $28-4-6=18$.
   Або порахуємо: Суми 0 ($0,0$ — 1), 1 ($0,1;1,0$ — 2), 2 ($0,2;1,1;2,0$ — 3), 3 ($0,3;1,2;2,1;3,0$ — 4), 4 ($0,4;1,3;2,2;3,1;4,0$ — 5), 5 ($0,5;1,4;2,3;3,2;4,1;5,0$ — 6), 6 ($0,6;1,5;2,4;3,3;4,2;5,1;6,0$ — 7), 7 ($1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1$ — 6), 8 ($2,6;3,5;4,4;5,3;6,2$ — 5).
   Сума: $1+2+3+4+5+6+7+6+5=39$. Це неправильно.
   Давайте використаємо доповнення: $28-(\text{сума }\ge 9)$. Сума $\ge 9$ це сума 9 (4 шт), 10 (3 шт), 11 (2 шт), 12 (1 шт). Разом $4+3+2+1=10$.
   Отже, менш ніж 9 очок: $28-10=18$.

Розв’язання

1. Загальна кількість клітинок на дошці $4\times 4$ дорівнює 16. На малюнку заклеєно 12 стікерів (3 синіх, 2 зелених, 3 жовтих, 3 фіолетових, 1 червоний). Залишається $16-12=4$ клітинки.

2. Позначимо кількість синіх стікерів на малюнку як $n_{син}=3$. Нехай $x$ — кількість додаткових синіх стікерів, які треба заклеїти. Тоді загальна кількість синіх стікерів буде $3+x$.

3. За умовою а) ймовірність обрати синій стікер має бути $\frac{3}{8}$. Отже: $\frac{3+x}{16}=\frac{3}{8}$. Звідси $3+x=6$, тобто $x=3$. Треба заклеїти ще 3 сині стікери.

4. Для умови б) нехай $y$ — кількість додаткових жовтих, а $z$ — фіолетових. Загальна кількість жовтих буде $3+y$, фіолетових $3+z$. Ймовірність обрати жовтий: $\frac{3+y}{16}$, фіолетовий: $\frac{3+z}{16}$. Умова: $\frac{3+y}{16}=2\cdot \frac{3+z}{16}$. Оскільки $x+y+z=4$, можна знайти конкретні числа (наприклад, якщо взяти 2 жовтих і 2 фіолетових, то ймовірності будуть $\frac{5}{16}$ і $\frac{5}{16}$, що не підходить. Спробуємо: $3+y=6+2z$. Якщо $z=0$, то $y=3$ (разом 4 стікери). Перевірка: жовтих буде 6, фіолетових 3. $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$, $\frac{3}{16}$. Співвідношення $\frac{3}{8}:\frac{3}{16}=2:1$. Підходить).

Розв’язання

1. Позначимо кількість синіх ручок через $x$. Загальна кількість ручок дорівнює $3+x$.

2. Сприятливих випадків (витягнути зелену) є 3. За умовою ймовірність дорівнює $0,25$, тобто $\frac{1}{4}$.

3. Складемо рівняння: $\frac{3}{3+x}=\frac{1}{4}$. Розв'язуємо його: $3\cdot 4=1\cdot (3+x)\Rightarrow 12=3+x\Rightarrow x=9$.

Розв’язання

1. Позначимо кількість зошитів у клітинку через $y$. Загальна кількість зошитів дорівнює $5+y$.

2. Сприятливих випадків (витягнути зошит у клітинку) є $y$. Ймовірність дорівнює $0,75$, що дорівнює $\frac{3}{4}$.

3. Складемо рівняння: $\frac{y}{5+y}=\frac{3}{4}$. Розв'язуємо його: $4y=3(5+y)\Rightarrow 4y=15+3y\Rightarrow y=15$.

Розв’язання

1. Загальна кількість білетів $N=300$. Ймовірність виграшу $P=0,2$.

2. Кількість виграшних білетів дорівнює $300\cdot 0,2=60$.

3. Кількість білетів без виграшу (програш) дорівнює $300-60=240$.

Розв’язання

1. Нехай кількість олівців дорівнює $x$. Тоді кількість ручок дорівнює $x+12$. Загальна кількість предметів у шухляді становить $x+(x+12)=2x+12$.

2. За умовою ймовірність вибрати ручку дорівнює $\frac{x+12}{2x+12}=\frac{5}{8}$. Складемо пропорцію: $8(x+12)=5(2x+12)$.

3. Розкриємо дужки: $8x+96=10x+60$. Перенесемо змінні та числа: $96-60=10x-8x$, отже, $36=2x$.

4. Знайдемо $x$: $x=18$. Кількість олівців дорівнює 18. Перевірка: ручок буде $18+12=30$. Загальна кількість $18+30=48$. $\frac{30}{48}=\frac{5}{8}$ — умова виконується.

Розв’язання

1. Запишемо вираз для ймовірності події «витягнути цукерку з молочного шоколаду»: $P=\frac{3}{3+m}$.

2. За умовою цієї ймовірність менша за $0,25$: $\frac{3}{3+m}<0,25$.

3. Перетворимо нерівність: $\frac{3}{3+m}<\frac{1}{4}$. Оскільки $m>0$, знаменник додатний, множимо на $4(3+m)$: $12<3+m$.

4. Знайдемо $m$: $m>12-3$, тобто $m>9$. Найменше ціле значення, яке більше за 9, це 10.

Розв’язання

1. Загальна кількість кубиків $N=125$.

2. а) Кутові кубики мають три пофарбовані грані. У великому кубі 8 кутів, тому таких малих кубиків 8. Ймовірність: $\frac{8}{125}$.

3. б) Кубики з двома пофарбованими гранями знаходяться на ребрах (не в кутових). Великий куб має 12 ребер, на кожному ребрі $5-2=3$ таких кубика. Загальна кількість: $12\times 3=36$. Ймовірність: $\frac{36}{125}$.

4. в) Кубики з однією пофарбованою гранню знаходяться у центрах граней. Великий куб має 6 граней, на кожній $5\times 5-(2\times 2+4\times 1+1)=25-9=16$ таких кубиків (або просто $(5-2{)}^2=3^2=9$). Загальна кількість: $6\times 9=54$. Ймовірність: $\frac{54}{125}$.

Розв’язання

1. Загальна кількість маленьких кубиків $n=1000$. Великий кубик має розмір $10\times 10\times 10$ (оскільки $10^3=1000$).

2. Знайдемо кількість кубиків з трьома пофарбованими гранями (кути великого кубика): їх завжди $8$.

3. Знайдемо кількість кубиків з двома пофарбованими гранями (ребра великого кубика): на кожному ребрі $10$ кубиків, але куткові враховані, тому залишається $10-2=8$. У куба $12$ ребер, отже $12\times 8=96$.

4. Знайдемо кількість кубиків з однією пофарбованою гранню (грані великого кубика): на кожній грані розміром $10\times 10$ залишається центральна частина $(10-2)\times (10-2)=8\times 8=64$. У куба $6$ граней, отже $6\times 64=384$.

5. Перевірка: $8+96+384+(\text{внутрішні }8\times 8\times 8=512)=1000$. Все вірно.
   а) Принаймні одна грань — це сума кубиків з 1, 2 та 3 гранями: $8+96+384=488$. Ймовірність $P_{а}=\frac{488}{1000}=0,488$.
   б) Тільки дві грані — це кількість ребрових кубиків: $96$. Ймовірність $P_{б}=\frac{96}{1000}=0,096$.