ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 235

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1199–1207 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1199

Ймовірність появи шістки при киданні двох кубиків

Підкидають два гральні кубики. Знайти ймовірність події, що випаде хоча б одна шістка.

Розв’язання

Знайдемо кількість випадків, коли на обох кубиках немає шістки (тобто випали числа 1–5). Це $5 \times 5 = 25$ випадків.
Віднімемо кількість несприятливих випадків від загальної кількості: $36 - 25 = 11$ . Отже, сприятливих випадків 11.
Обчислимо ймовірність за формулою $P (A) = \frac{m}{n}$ , де $m = 11$ , $n = 36$ .

Відповідь:

$P = \frac{11}{36}$ .

Завдання 1200

Ймовірність подій при киданні двох монет

Одночасно підкидають дві однакові монети. Знайти ймовірність події а) $A = {випав один герб і одна решка}$ ; б) $B = {випало не менше одного герба}$ .

Розв’язання

Загальна кількість елементарних подій $n = 4$ .
Для події а): сприятливих випадків (один герб і одна решка) — це (герб, решка) та (решка, герб), тобто $m_{A} = 2$ . Ймовірність $P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Для події б): сприятливими є випадки з хоча б одним гербом: (герб, герб), (герб, решка), (решка, герб). Кількість таких випадків $m_{B} = 3$ . Ймовірність $P (B) = \frac{3}{4}$ .

Відповідь:

а) $\frac{1}{2}$ ; б) $\frac{3}{4}$ .

Завдання 1201

Оцінка кількості бракованих деталей у партії

Перевірили 500 деталей, з яких 5 браковані. Визначити очікувану кількість бракованих деталей у партії з 3500 штук.

Розв’язання

Знайдемо частоту бракуваних деталей: $\frac{5}{500} = \frac{1}{100}$ . Це означає, що приблизно 1 деталь з 100 є бракованою.
Обчислимо кількість бракованих деталей у партії з 3500 штук, помноживши загальну кількість на частку: $3500 \times \frac{1}{100} = 35$ .

Відповідь:

Очікується 35 бракованих деталей.

Завдання 1202

Розподіл дітей у родині

Дослідити розподіл хлопчиків і дівчаток у родинах з трьома дітьми. Ймовірність народження хлопчика або дівчинки однакова (п'ята).

Розв’язання

Перелічимо всі можливі варіанти народження трьох дітей (Х — хлопчик, Д — дівчинка): ХХХ, ХХД, ХДХ, ХДД, ДХХ, ДХД, ДДХ, ДДД. Всього $8$ випадків.
Оцінимо кількість хлопчиків і дівчаток у кожному випадку:
- 3 хлопчики (1 варіант);
- 2 хлопчики, 1 дівчинка (3 варіанти: ХХД, ХДХ, ДХХ);
- 1 хлопець, 2 дівчаток (3 варіанти: ХДД, ДХД, ДДХ);
- 0 хлопчиків, 3 дівчаток (1 варіант).

Відповідь:

У родин з трьома дітьми можливі такі розподіли: $1$ випадок із $3$ хлопчиками, $3$ випадки із $2$ хлопчиками та $1$ дівчинкою, $3$ випадки із $1$ хлопчиком та $2$ дівчатками, $1$ випадок із $3$ дівчатками.

Завдання 1203

Частота влучень стрільця

Стрілець зробив $5$ серій пострілів по мішені (по $100$ пострілів у кожній). Кількість влучень записана в таблиці ( $69, 64, 72, 78, 65$ ). Знайти відносну частоту влучення: а) у кожній серії; б) у перших $300$ пострілах; в) в останніх $300$ пострілах; г) у всіх $500$ пострілах. Сформулювати гіпотезу про ймовірність.

Розв’язання

а) Розрахунок частоти для кожної серії ( $n = 100$ ):
- Серія 1: $\frac{69}{100} = 0, 69$ .
- Серія 2: $\frac{64}{100} = 0, 64$ .
- Серія 3: $\frac{72}{100} = 0, 72$ .
- Серія 4: $\frac{78}{100} = 0, 78$ .
- Серія 5: $\frac{65}{100} = 0, 65$ .
б) Перші $300$ пострілів (серії 1–3): Всього влучень $69 + 64 + 72 = 205$ . Частота: $\frac{205}{300} \approx 0, 68$ .
в) Останні $300$ пострілів (серії 3–5): Всього влучень $72 + 78 + 65 = 215$ . Частота: $\frac{215}{300} \approx 0, 72$ .
г) Всі $500$ пострілів (серії 1–5): Всього влучень $69 + 64 + 72 + 78 + 65 = 348$ . Частота: $\frac{348}{500} = 0, 696 \approx 0, 70$ .

Відповідь:

а) $0, 69; 0, 64; 0, 72; 0, 78; 0, 65$ ; б) $\approx 0, 68$ ; в) $\approx 0, 72$ ; г) $\approx 0, 70$ . Гіпотеза: ймовірність влучення становить близько $0, 7$ (або $70%$ ).

Завдання 1204

Обчислення значень функції

Функцію задано формулою $f (x) = - 5 x + 3$ . Знайти значення функції для аргументів: $f (0, 1)$ ; $f (- 2, 5)$ ; $f (- 10)$ ; $f (0, 3)$ ; $f (- 1, 2)$ .

Розв’язання

$f (0, 1) = - 5 \cdot 0, 1 + 3 = - 0, 5 + 3 = 2, 5$ .
$f (- 2, 5) = - 5 \cdot (- 2, 5) + 3 = 12, 5 + 3 = 15, 5$ .
$f (- 10) = - 5 \cdot (- 10) + 3 = 50 + 3 = 53$ .
$f (0, 3) = - 5 \cdot 0, 3 + 3 = - 1, 5 + 3 = 1, 5$ .
$f (- 1, 2) = - 5 \cdot (- 1, 2) + 3 = 6 + 3 = 9$ .

Відповідь:

$f (0, 1) = 2, 5$ ; $f (- 2, 5) = 15, 5$ ; $f (- 10) = 53$ ; $f (0, 3) = 1, 5$ ; $f (- 1, 2) = 9$ .

Завдання 1205

Розв'язання нерівності

Потрібно розв'язати нерівність $x^{2} + 8 x + 8 < 3 x^{2}$ .

Розв’язання

Перенесемо всі доданки в одну частину нерівності (праву): $3 x^{2} - x^{2} - 8 x - 8 > 0$ .
Спростимо вираз: $2 x^{2} - 8 x - 8 > 0$ .
Поділимо обидві частини на 2 (знак нерівності не змінюється): $x^{2} - 4 x - 4 > 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння $x^{2} - 4 x - 4 = 0$ за формулою дискримінанта: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 16 + 16 = 32$ .
Корені: $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 32}{2} = \frac{4 \pm 4 2}{2} = 2 \pm 22$ . Отже, корені дорівнюють $2 - 22$ і $2 + 22$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується за межами коренів.

Відповідь:

$x \in (- \infty; 2 - 22) \cup (2 + 22; + \infty)$ .

Завдання 1206

Розв'язання системи нерівностей

а) $(3 x - 1) (x + 3) > x (1 + 5 x)$ ; б) $x^{2} + 8 x + 8 < 3 x^{2}$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки в нерівності а): $3 x^{2} + 9 x - x - 3 > x + 5 x^{2}$ .
Спростимо: $3 x^{2} + 8 x - 3 > x + 5 x^{2}$ , тобто $- 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ .
Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$ . Отже, $x_{1} = \frac{2}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{12}{4} = 3$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ у початковому вигляді був від'ємний ( $- 2 < 0$ ), нерівність виконується між коренями: $0, 5 < x < 3$ .
Розв'язуємо нерівність б) (як у завданні 1205): $x^{2} - 4 x - 4 > 0$ (після перенесення всіх доданків вправо). Корені: $2 \pm 22$ . Розв'язок: $x < 2 - 22$ або $x > 2 + 22$ .

Відповідь:

а) $x \in (0, 5; 3)$ ; б) $x \in (- \infty; 2 - 22) \cup (2 + 22; + \infty)$ .

Завдання 1207

Побудова графіків функцій

а) $y = ∣ x^{2} - x ∣$ ; б) $y = x^{2} - ∣ x ∣$ .

Розв’язання

Для функції а) $y = ∣ x^{2} - x ∣$ : знайдемо нулі виразу всередині модуля: $x (x - 1) = 0$ , отже, точки перетину з віссю $O x$ — це $0$ і $1$ .
Якщо $x \leq 0$ або $x \geq 1$ , то $x^{2} - x \geq 0$ , тому графік — це парабола $y = x^{2} - x$ .
Якщо $0 < x < 1$ , то $x^{2} - x < 0$ , тому графік — це парабола $y = - (x^{2} - x) = - x^{2} + x$ (відображена відносно осі $O x$ ).
Графік складається з двох гілок параболи, що йдуть вгору, і «впуклого» сегмента між $0$ та $1$ .
Для функції б) $y = x^{2} - ∣ x ∣$ : розглянемо випадки.
Якщо $x \geq 0$ , то $y = x^{2} - x$ . Це парабола з вершиною в $(0, 5; - 0, 25)$ , що проходить через початок координат.
Якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ , отже $y = x^{2} - (- x) = x^{2} + x$ . Це парабола з вершиною в $(- 0, 5; - 0, 25)$ , що також проходить через початок координат.
Графік симетричний відносно осі $O y$ і має форму «двох гілок», що розходяться вгору з мінімумом у точках $(\pm 0, 5; - 0, 25)$ .

Відповідь:

а) Графік — це модульна функція, яка має вигляд «підкови» зверху та «впадини» між $x = 0$ і $x = 1$ . б) Графік складається з двох гілок параболи, симетричних відносно осі ординат, з мінімумами в точках $(\pm 0, 5; - 0, 25)$ .