Сторінки 199–207

Розв’язання

1. Переводимо відсоток у десятковий дріб: $8\%=0,08$.

2. Знаходимо суму за обслуговування: $2400\cdot 0,08=192$.

Розв’язання

1. Нехай у третьому відділі $x$ книжок. Тоді у першому відділі $(x+80)$, а у другому — $1,1(x+80)$.

2. За умовою, кількість книжок у другому відділі також дорівнює $130\%$ від кількості у третьому, тобто $1,3x$.

3. Складемо рівняння: $1,1(x+80)=1,3x$. Розкриємо дужки: $1,1x+88=1,3x$.

4. Перенесемо змінні в одну частину рівняння: $1,3x-1,1x=88\Rightarrow 0,2x=88$. Знайдемо $x$: $x=\frac{88}{0,2}=440$.

5. Обчислимо кількість книжок у першому відділі: $440+80=520$.

6. Обчислимо кількість книжок у другому відділі: $1,1\cdot 520=572$ (або $1,3\cdot 440=572$).

Розв’язання

1. Через 1 рік сума становить $a_1=a_0\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$.

2. Через 2 роки до отриманої суми додається відсоток, тому множимо ще на $\left(1+\frac{p}{100}\right)$: $a_2=a_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2$.

3. Через 3 роки множник повторюється втретє: $a_3=a_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3$.

4. Загальний закономірність показує, що через $n$ років формула має вигляд: $a_n=a_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.

Розв’язання

1. Згадай визначення простих відсотків (відсоток не додається до капіталу щороку). Приклад: «Вклали 1000 грн під 10% річних на рік».

2. Згадай визначення складних відсотків (капітал зростає, і новий відсоток нараховується на суму з відсотками). Приклад: «Вклали 1000 грн під 10% річних на два роки за схемою складних відсотків».

3. Визнач, що ще зустрічається в задачах (наприклад, знаходження цілого за частиною), і коротко опиши суть цих задач.

Розв’язання

1. Запиши загальний вигляд формули, поданої в підручнику.

2. Поясни, що означають кожна з величин у формулі ($a_0$, $p$, $n$, $a_n$).

Розв’язання

1. а) $3\%=\frac{3}{100}=0,03$.

2. б) $14\%=\frac{14}{100}=0,14$.

3. в) $50\%=\frac{50}{100}=0,5$.

4. г) $67\%=\frac{67}{100}=0,67$.

5. ґ) $100\%=\frac{100}{100}=1$.

6. д) $120\%=\frac{120}{100}=1,2$.

7. е) $157\%=\frac{157}{100}=1,57$.

Розв’язання

1. За умовою завдання відсоток батьків, у яких немає телефону, дорівнює $15\%$.

2. Щоб знайти відсоток батьків, у яких є телефон, віднімемо $15\%$ від загального відсотка $100\%$: $100\%-15\%=85\%$.

Розв’язання

1. Ділимо частину на ціле: $\frac{24}{100}=0,24$.

2. Переводимо десятковий дріб у відсотки (множимо на 100): $0,24\cdot 100\%=24\%$.

Розв’язання

1. За умовою початковий капітал $a_0=2000$ грн, річна ставка $p=10\%$.

2. Знайдемо суму відсотків: $\frac{10}{100}\cdot 2000=0,1\cdot 2000=200$ грн.

Розв’язання

1. Переводимо $40\%$ у десятковий дріб: $40\%=\frac{40}{100}=0,4$.

2. Знаходимо суму витрат, множачи загальну суму на цей коефіцієнт: $1000\cdot 0,4=400$.

Розв’язання

1. Обчислимо частку учнів, які ставили свічки: $\frac{190}{240}\approx 0,79$ (це $79\%$).

2. Це означає, що сектор «Так» займає майже три чверті кола, а сектор «Ні» — менше однієї чверті.

3. Порівнюємо з малюнком: перша діаграма має рівні частини ($50\%$), друга — «Так» менший за $50\%$, третя — «Так» займає більшу частину, але не таку велику, як треба (вона виглядає як $75\%$ або трохи більше), четверта — «Так» майже $80\%$. Найкраще відповідає третя діаграма, де сектор «Так» значно більший за «Ні», але не повний півколо. (Зверни увагу: на малюнку третій варіант має великий сірий сектор «Так» і малий рожевий «Ні»).

Розв’язання

1. Після 1-го року сума: $(1000\cdot 1,2+a)$.

2. Після 2-го року беремо отриману суму, множимо на $1,2$ і додаємо $a$: $((1000\cdot 1,2+a)\cdot 1,2+a)$.

3. Після 3-го року знову множимо на $1,2$ і додаємо $a$: $(((1000\cdot 1,2+a)\cdot 1,2+a)\cdot 1,2)$.

4. Кінцева сума має дорівнювати початковій плюс $300\%$ від неї, тобто $1000\cdot (1+3)=1000\cdot 4$.

5. Отримуємо рівняння: $((1000\cdot 1,2+a)\cdot 1,2+a)\cdot 1,2=1000\cdot 4$.

Розв’язання

1. а) Зростання на $30\%$: нова сума становить $100\%+30\%=130\%$.

2. б) Зменшення на $15\%$: нова сума становить $100\%-15\%=85\%$.

3. в) Збільшення у 2 рази: це еквівалентно зростанню на $100\%$, отже, нова сума $100\%+100\%=200\%$.

4. г) Зменшення у 2 рази: це означає, що залишилася половина, тобто $50\%$ від початкової.

Розв’язання

1. Нехай початковий дріб має вигляд $\frac{x}{y}$.

2. Чисельник збільшується на $100\%$, тобто стає рівним $x+1,00x=2x$.

3. Знаменник зменшується на $50\%$, тобто стає рівним $y-0,5y=0,5y$ (або $\frac{y}{2}$).

4. Новий дріб має вигляд $\frac{2x}{0,5y}$. Скорочуючи на $0,5$, отримуємо $\frac{2x}{\frac{1}{2}y}=\frac{2x\cdot 2}{y}=\frac{4x}{y}$.

Розв’язання

1. Оцінюємо діаграму: найбільший сектор — «С/г продукція» (62,8%), що означає, що сільське господарство є основним галузевим напрямком експорту.

2. Наступні за значущістю категорії: «Чорні та кольорові метали» (11,6%) та «Транспорт та обладнання» (5,8%).

3. Сумарно промисловість (метали + транспорт) становить близько 17%, що значно менше за сільське господарство.

Розв’язання

1. а) Ділимо $369$ на $900$: $\frac{369}{900}=0,41$. Помножуємо на $100\%$: $0,41\cdot 100\%=41\%$.

2. б) Ділимо $391$ на $850$: $\frac{391}{850}=0,46$. Помножуємо на $100\%$: $0,46\cdot 100\%=46\%$.

3. в) Ділимо $920$ на $400$: $\frac{920}{400}=2,3$. Помножуємо на $100\%$: $2,3\cdot 100\%=230\%$.

Розв’язання

1. а) Ділимо $207$ на $900$: $\frac{207}{900}=0,23$. Перетворюємо у відсотки: $0,23\cdot 100\%=23\%$.

2. б) Ділимо $498$ на $664$: $\frac{498}{664}=0,75$. Перетворюємо у відсотки: $0,75\cdot 100\%=75\%$.

3. в) Ділимо $144$ на $32$: $\frac{144}{32}=4,5$. Перетворюємо у відсотки: $4,5\cdot 100\%=450\%$.

Розв’язання

1. Запишіть число (наприклад, $200$) і відсоток (наприклад, $35\%$).

2. Перетворіть відсоток у десятковий дріб ($35\%=0,35$) і перемножте його на число: $200\cdot 0,35$.

Розв’язання

1. а) $300\cdot 0,51=153$.

2. б) $750\cdot 0,84=630$.

3. в) $325\cdot 1,48=481$.

Розв’язання

1. а) $16:0,25=64$.

2. б) $24:0,96=25$.

Розв’язання

1. а) Ділимо число 3 на відсоток $0,06$: $x=\frac{3}{0,06}=\frac{300}{6}=50$.

2. б) Ділимо число 81 на відсоток $0,9$: $x=\frac{81}{0,9}=\frac{810}{9}=90$.

Розв’язання

1. Переводимо відсоток у десятковий дріб: $85\%=0,85$.

2. Множимо загальну кількість учасників на цей дріб: $60\cdot 0,85=51$.

Розв’язання

1. Для першого учасника: $\frac{18}{20}=0,9$. Переводимо в відсотки: $0,9\cdot 100\%=90\%$.

2. Для другого учасника: $\frac{17}{20}=0,85$. Переводимо в відсотки: $0,85\cdot 100\%=85\%$.

3. Для третього учасника: $\frac{13}{20}=0,65$. Переводимо в відсотки: $0,65\cdot 100\%=65\%$.

4. Для четвертого учасника: $\frac{12}{20}=0,6$. Переводимо в відсотки: $0,6\cdot 100\%=60\%$.

5. Для п'ятого учасника: $\frac{20}{20}=1$. Переводимо в відсотки: $1\cdot 100\%=100\%$.

Розв’язання

1. Знайдемо $1\%$ від маси розчину: $140\text{г}:100=1,4\text{г}$.

2. Помножимо отриману частину на кількість відсотків ($6$): $1,4\cdot 6=8,4\text{г}$.

Розв’язання

1. Знайдемо масу $1\%$ розчину, діливши масу солі на відсоток: $14\text{г}:8=1,75\text{г}$.

2. Знайдемо загальну масу розчину, помноживши масу $1\%$ на $100$: $1,75\cdot 100=175\text{г}$.

Розв’язання

1. Знайдемо масу солі в $1\text{г}$ розчину: $24\text{г}:600=0,04\text{г}$.

2. Переведемо це у відсотки: $0,04\text{г}$ — це $4\%$ від $1\text{г}$. Отже, концентрація становить $4\%$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для концентрації $C$ і підставимо відомі значення: $m_{\text{солі}}=4\text{г}$, $m_{\text{розчину}}=20\text{г}$.

2. Обчислимо частку: $\frac{4}{20}=0,2$.

3. Помножимо на 100%, щоб отримати відсоток: $0,2\cdot 100\%=20\%$.

Розв’язання

1. Рядок 1: Знаємо масу розчину ($32\text{г}$) і солі ($56\text{г}$). Оскільки маса солі більша за масу розчину, це неможливо для фізичного розчину (ймовірно, в умові помилка або йдеться про щось інше, але математично: $\frac{56}{32}=1,75$, що більше 1). Перевіримо ще раз дані з картинки: у першому рядку маса розчину 32, маса солі 56. Це фізично неможливо для розчину (солі не може бути більше за суму розчину). Можливо, в умові підручника помилка або я бачу числа неправильно? Перевірю зображення: перше число в стовпці "Маса розчину" — 32. Друге — 56 (це маса солі). Це суперечить логіці.
   Уточнення: На зображенні таблиця має три рядки.
   Рядок 1: Маса розчину = 32, Маса солі = 56. Це неможливо ($m_{\text{солі}}<m_{\text{розчину}}$). Можливо, числа переплутані в тексті або на зображенні? Давайте припустимо, що це тест на перевірку логіки або я бачу помилку в читанні.
   Перегляд зображення: У першому рядку: Маса розчину 32, Маса солі 56. Це неможливо.
   У другому рядку: Концентрація 25%, Маса солі 3000. Знайдемо масу розчину: $m_{\text{розчину}}=\frac{3000}{0,25}=12000\text{г}$.
   У третьому рядку: Маса розчину 150, Концентрація 7%. Знайдемо масу солі: $m_{\text{солі}}=\frac{7}{100}\cdot 150=10,5\text{г}$.
   Щодо першого рядка: Можливо, там має бути інше число або це "пастка". Але оскільки я мушу розв'язати завдання, я вкажу на неможливість для першого випадку або припустимо, що числа місцями змінялися.
   Альтернатива: Можливо, у першому рядку 32 — це маса солі, а 56 — розчину? Якщо $m_{\text{солі}}=32$, $m_{\text{розчину}}=56$, то концентрація $\frac{32}{56}\approx 57\%$.
   Однак, найімовірніше, що в умові завдання є помилка друку або я бачу числа так: 32 (маса розчину), 56 (маса солі) — це неможливо.
   Рішення: Я розв'язую для можливих випадків.

2. Рядок 1: Якщо $m_{\text{розчину}}=32$ і $m_{\text{солі}}=56$, то концентрація > 100%, що неможливо. Можливо, в умові числа місцями помінялися? Припустимо, $m_{\text{солі}}=32$, $m_{\text{розчину}}=56$. Тоді $C=\frac{32}{56}\cdot 100\%\approx 57,1\%$.
   Але якщо дотримуватись тексту "Маса розчину 32", то це неможливо.
   Перевірка з підручника: Часто в таких задачах числа можуть бути: $m_{\text{розчину}}=56$, $m_{\text{солі}}=32$. Тоді концентрація $\frac{32}{56}\approx 57\%$.
   Я залишу перший рядок як "неможливий за умови" або виправлю числа, якщо це очевидно. Але краще вказати: для першого рядка дані суперечать фізиці ($m_{\text{солі}}>m_{\text{розчину}}$).

3. Рядок 2: $m_{\text{розчину}}=\frac{3000}{0,25}=12000\text{г}$.

4. Рядок 3: $m_{\text{солі}}=0,07\cdot 150=10,5\text{г}$.

Розв’язання

1. Рядок 1: Початкова $3000$, Кінцева $5100$. Знайдемо відсоток: $\frac{5100-3000}{3000}=\frac{2100}{3000}=0,7=70\%$.

2. Рядок 2: Початкова невідома, відсоток $15\%$, Кінцева $2415$. Нехай початкова $x$. $x\cdot (1+0,15)=2415\Rightarrow 1,15x=2415\Rightarrow x=\frac{2415}{1,15}=2100\text{грн}$.

3. Рядок 3: Початкова $150$, відсоток $20\%$. Кінцева ціна: $150\cdot (1+0,2)=150\cdot 1,2=180\text{грн}$.

Розв’язання

1. Позначимо початкову суму позички через $x$. Сума відсотків за рік становить $4\%$ від $x$, тобто $0,04x$.

2. Запишемо рівняння для кінцевої суми: $x+0,04x=29120$.

3. Спростимо ліву частину: $1,04x=29120$. Знайдемо $x$: $x=\frac{29120}{1,04}=28000$.

Розв’язання

1. Знайдемо суму відсотків за один рік: $23000\cdot 12\%=23000\cdot 0,12=2760$ грн.

2. Оскільки термін вкладу — 2 роки, загальна сума відсотків: $2760\cdot 2=5520$ грн.

3. Додамо суму відсотків до початкового депозиту: $23000+5520=28520$ грн.

Розв’язання

1. Знайдемо загальний відсоток за 3 роки: $5\%\cdot 3=15\%$. Це означає, що сума збільшиться на $0,15$ від початкової.

2. Запишемо вираз для кінцевої суми: $10000\cdot (1+0,15)=10000\cdot 1,15$.

3. Виконаємо множення: $10000\cdot 1,15=11500$ грн.

Розв’язання

1. Знайдемо кількість витрачених грошей: $55000\cdot 0,65=35750$ грн.

2. Віднімемо витрачену суму від початкової: $55000-35750=19250$ грн.

Розв’язання

1. Визначимо частку залишку від початкової маси: $100\%-20\%=80\%=0,8$.

2. Складемо рівняння: $0,8x=360$, де $x$ — шукана маса врожаю.

3. Розв'яжемо рівняння: $x=\frac{360}{0,8}=450$.

Розв’язання

1. У круговій діаграмі папір становить $40\%$, пластик — $27\%$, метал — $20\%$, скло — $10\%$.

2. У стовпчастій діаграмі найвищий стовпчик (папір) відповідає приблизно $38$ кг, другий (пластик) — близько $28$ кг, третій (метал) — близько $19$ кг, четвертий (скло) — близько $10$ кг.

3. Порівнюючи відносні величини: $\frac{40}{10}=4$, а відношення висот найвищого та найнижчого стовпчика також приблизно дорівнює $4$. Відсоткові пропорції ($40\%:27\%\approx 1,5$) відповідають відношенню мас ($38:28\approx 1,36$), що є близьким наближенням з урахуванням графічної точності. Проте, якщо взяти точні значення з малюнка (наприклад, папір $38$, пластик $28$, метал $19$, скло $10$), сума мас дорівнює $95$ кг. Перевіримо відсотки: $\frac{40}{95}\approx 42\%$, а не $40\%$. Отже, діаграми не ідеально відповідають одна одній через неточність масштабування або округлення в умові малюнка.

Розв’язання

1. Сума відсотків, пройдених за перші два дні: $20\%+35\%=55\%$.

2. Відсоткова частка останнього відрізка ($18\text{км}$): $100\%-55\%=45\%$.

3. Знайдемо повну довжину маршруту, вважаючи $18\text{км}$ за $45\%$: $x=18:0,45=40(\text{км})$.

Розв’язання

1. Позначимо виручку від продажу сувенірів за $x$. Тоді виручка від продажу випічки становитиме $(18000-x)$.

2. Запишемо умову задачі у вигляді рівняння: $\frac{25}{100}x=\frac{1}{5}(18000-x)$, або $0,25x=0,2(18000-x)$.

3. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $0,25x=3600-0,2x\Rightarrow 0,45x=3600$.

4. Знайдемо значення $x$: $x=\frac{3600}{0,45}=8000$ грн (сувеніри). Тоді випічка: $18000-8000=10000$ грн.

Розв’язання

1. Позначимо виручку від продажу звичайних квитків за $y$. Тоді виручка від продажу VIP-квитків становитиме $(150000-y)$.

2. Запишемо умову задачі у вигляді рівняння: $\frac{30}{100}y=\frac{1}{5}(150000-y)$, або $0,3y=0,2(150000-y)$.

3. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $0,3y=30000-0,2y\Rightarrow 0,5y=30000$.

4. Знайдемо значення $y$: $y=\frac{30000}{0,5}=60000$ грн (звичайні). Тоді VIP-квитки: $150000-60000=90000$ грн.

Розв’язання

1. Знайдемо різницю цін: $25000-20000=5000$ грн.

2. а) Планшет А дорожчий за Б на: $\frac{5000}{20000}\cdot 100\%=0,25\cdot 100\%=25\%$.

3. б) Планшет Б дешевший за А на: $\frac{5000}{25000}\cdot 100\%=0,2\cdot 100\%=20\%$.

Розв’язання

1. Пункт а): Порівнюємо станції Дніпра ($9$) та Харкова ($30$). Різниця $=30-9=21$. Базова величина — $30$. Відсоток: $\frac{21}{30}\cdot 100\%=70\%$.

2. Пункт б): Порівнюємо станції Києва ($52$) та Харкова ($30$). Різниця $=52-30=22$. Базова величина — $30$. Відсоток: $\frac{22}{30}\cdot 100\%\approx 73,3\%$, округлюємо до $73\%$.

3. Пункт в): Порівнюємо довжину Кривого Рогу ($18$ км) та Дніпра ($7$ км). Різниця $=18-7=11$. Базова величина — $7$. Відсоток: $\frac{11}{7}\cdot 100\%\approx 157,1\%$, округлюємо до $157\%$.

4. Пункт г): Порівнюємо лінії Києва ($3$) та Дніпра ($1$). Різниця $=3-1=2$. Базова величина — $1$. Відсоток: $\frac{2}{1}\cdot 100\%=200\%$.

Розв’язання

1. Доповнюємо таблицю для знаходження маси солі в кожному розчині:
   - Перший розчин ($x$ г): $0,1x$ г солі.
   - Другий розчин $(900-x)$ г: $0,25(900-x)$ г солі.
   - Готовий розчин ($900$ г): $0,15\cdot 900=135$ г солі.

2. Складаємо рівняння: $0,1x+0,25(900-x)=135$.

3. Розкриваємо дужки: $0,1x+225-0,25x=135$.

4. Збираємо подібні доданки: $-0,15x=135-225$, тобто $-0,15x=-90$.

5. Знаходимо $x$: $x=\frac{-90}{-0,15}=600$.

6. Знаходимо масу другого розчину: $900-600=300$.

Розв’язання

1. Визначаємо масу солі в кожному розчині:
   - Перший ($x$ г): $0,12x$ г солі.
   - Другий $(600-x)$ г: $0,36(600-x)$ г солі.
   - Готовий ($600$ г): $0,24\cdot 600=144$ г солі.

2. Складаємо рівняння: $0,12x+0,36(600-x)=144$.

3. Розкриваємо дужки: $0,12x+216-0,36x=144$.

4. Збираємо подібні доданки: $-0,24x=144-216$, тобто $-0,24x=-72$.

5. Знаходимо $x$: $x=\frac{-72}{-0,24}=300$.

6. Знаходимо масу другого розчину: $600-300=300$.

Розв’язання

1. Знаходимо частку глюкози та води в загальній масі $m$:
   - Глюкоза: $0,3m$.
   - Вода: $0,1m$.

2. За умовою задачі: $0,3m-0,1m=600$.

3. Спрощуємо рівняння: $0,2m=600$.

4. Знаходимо загальну масу розчину: $m=\frac{600}{0,2}=3000\text{г}$.

5. Обчислюємо масу кожного компонента:
   - Сольовий розчин: $0,6\cdot 3000=1800\text{г}$.
   - Глюкоза: $0,3\cdot 3000=900\text{г}$.
   - Вода: $0,1\cdot 3000=300\text{г}$.

6. Перевірка умови: $900-300=600\text{г}$ (умова виконується).

Розв’язання

1. Позначимо кількість учнів через $x$, а кількість учениць — через $y$. Запишемо рівняння, що відображає різницю між ними: $x-y=6\Rightarrow x=y+6$.

2. Складемо рівняння для умови збільшення кількості: $(1+0,6)x=(1+1,2)y$, що спрощується до $1,6x=2,2y$.

3. Підставимо вираз для $x$ у друге рівняння: $1,6(y+6)=2,2y\Rightarrow 1,6y+9,6=2,2y\Rightarrow 0,6y=9,6$.

4. Знайдемо $y$: $y=9,6:0,6=16$. Тоді $x=16+6=22$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу нарахування за два роки: $S=5000\cdot (1+0,2{)}^2$.

2. Обчислимо множник зростання: $(1,2{)}^2=1,44$.

3. Знайдемо кінцеву суму: $S=5000\cdot 1,44=7200$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для трьох років: $S=8000\cdot (1+0,12{)}^3$.

2. Обчислимо степінь: $(1,12{)}^3=1,404928$.

3. Знайдемо кінцеву суму: $S=8000\cdot 1,404928=11239,424$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для сума через $n$ років: $S_n=6000\cdot (1+0,1{)}^n=6000\cdot 1,1^n$.

2. Складемо нерівність: $6000\cdot 1,1^n>12000$.

3. Поділимо обидві частини на 6000: $1,1^n>2$.

4. Піднесемо число 1,1 до степенів послідовно (або використаємо логарифм):
   - $n=1\Rightarrow 1,1$
   - $n=2\Rightarrow 1,21$
   - $n=3\Rightarrow 1,331$
   - $n=4\Rightarrow 1,4641$
   - $n=5\Rightarrow 1,61051$
   - $n=6\Rightarrow 1,771561$
   - $n=7\Rightarrow 1,9487171$
   - $n=8\Rightarrow 2,14358881$

Розв’язання

1. Знайдемо множник зростання для першого рахунку ($p=0,1$): $(1+0,1{)}^3=1,1^3=1,331$.

2. Знайдемо множник зростання для другого рахунку ($p=0,2$): $(1+0,2{)}^3=1,2^3=1,728$.

3. Обчислимо кінцеві суми:
   - Рахунок А: $8000\cdot 1,331=10648$ грн.
   - Рахунок Б: $7500\cdot 1,728=12960$ грн.

Розв’язання

1. Знайдемо множник зростання за 3 роки при ставці 20 %: $(1+0,2{)}^3=1,2^3=1,728$.

2. Поділимо кінцеву суму на цей множник: $S_0=\frac{10000}{1,728}$.

3. Виконаємо ділення: $\frac{10000}{1,728}\approx 5786,\mathrm{979...}$

4. Округлимо результат до цілих гривень (до сотих частки): 5787 грн.

Розв’язання

1. Знайдемо суму для пана Ігора (прості відсотки). Відсоток за рік: $8\%$ від $10000=800$ грн. За 3 роки нараховано: $800\cdot 3=2400$ грн. Загальна сума: $10000+2400=12400$ грн.

2. Знайдемо суму для пані Лариси (складні відсотки). Сума через 3 роки: $10000\cdot (1+0,08{)}^3=10000\cdot (1,08{)}^3$. Обчислимо $(1,08{)}^3\approx 1,259712$. Сума: $10000\cdot 1,259712=12597,12$ грн.

Розв’язання

1. Знайдемо відсоток учнів, що обирають сортування сміття: $\frac{72}{360}\cdot 100\%=20\%$.

2. Перевіримо суму відсотків для відомих секторів: «Сортування сміття» ($20\%$), «Допомога іншим людям» ($\frac{83}{360}\cdot 100\approx 23,06\%$), «Прибирання парків» ($35\%$). Сума цих часток: $20+23,06+35=78,06\%$.

3. Знайдемо відсоток для сектора «Створення нових» ($x$): $100-78,06\approx 21,94\%$. Перевіримо це через кути: кут $x=(100-(20+23,06+35))\cdot 3,6\approx 79^{\circ }$. Оскільки в умові не вказано точний відсоток для «Допомоги», а лише кут $83^{\circ }$, розрахуємо $y$ як різницю: $100-(20+35)=45\%$. Кут $x$ знайдемо через повний коло: $x(\text{градуси})=360-(72+83+\frac{35}{100}\cdot 360)=360-(72+83+126)=79^{\circ }$. Тоді $y$ у відсотках: $100\%-(20\%+35\%)=45\%$, що відповідає куту $\frac{45}{100}\cdot 360=162^{\circ }$.

Розв’язання

1. Позначимо початкове виробництво через $V$. Після першого року виробництво стане $V\cdot (1+\frac{p}{100})$.

2. Другий рік зростання становить на $10\%$ більше, ніж у попередньому році. Це означає, що відношення виробництва другого року до першого дорівнює $\frac{p+10}{100}+1=\frac{p+110}{100}$.

3. Запишемо вираз для виробництва після другого року: $V_2=V\cdot (1+\frac{p}{100})\cdot (\frac{p+110}{100})$.

4. За умовою загальне зростання за два роки становить $48,59\%$, тобто $V_2=V\cdot (1+\frac{48,59}{100})=1,4859V$.

5. Складемо рівняння: $(1+\frac{p}{100})\cdot (\frac{p+110}{100})=1,4859$. Розкриємо дужки та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $p$: $\frac{(100+p)(p+110)}{10000}=1,4859\Rightarrow p^2+210p+11000=14859\Rightarrow p^2+210p-3859=0$.

6. Знайдемо корені: $D=210^2-4\cdot (-3859)=44100+15436=59536$. $\sqrt{D}=244$. $p=\frac{-210\pm 244}{2}$. Отримуємо корені: $p_1=17$, $p_2=-227$. Оскільки відсоток зростання має бути додатним, залишаємо $p=17$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо $(x-1)(2-x)>0$ на вигляд $-(x-1)(x-2)>0$, що еквівалентно $(x-1)(x-2)<0$. Корені рівняння: $x_1=1,x_2=2$. Розв'язок між коренями: $1<x<2$.

2. б) Знайдемо корені рівняння $(3+x)(x+7)=0$: $x_1=-3,x_2=-7$. Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між меншим і більшим коренем: $-7<x<-3$.