ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 198

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 198)–10 (с. 198) · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems

Завдання 1 (с. 198)

Відсоток від числа

Вечеря в ресторані на 4 осіб коштувала $2400$ грн. В рахунок додали одразу $8%$ від вартості рахунку за обслуговування. Яку суму мають сплатити за обслуговування відвідувачі?

Розв’язання

Переведемо відсоток у десятковий дріб: $8% = \frac{8}{100} = 0, 08$ .
Знайдемо суму за обслуговування: $2400 \cdot 0, 08 = 192$ (грн).

Відповідь:

$192$ грн.

Завдання 2 (с. 198)

Перший член геометричної прогресії

$b_{3} = 4$ , $b_{4} = 2$ . Знайти $b_{1}$ .

Розв’язання

Знайдемо знаменник прогресії $q$ : $q = \frac{b _{4}}{b _{3}} = \frac{2}{4} = 0, 5$ .
Використаємо формулу $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ для третього члена: $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$ .
Підставимо відомі значення: $4 = b_{1} \cdot (0, 5)^{2}$ , звідки $4 = b_{1} \cdot 0, 25$ .
Знайдемо $b_{1}$ : $b_{1} = \frac{4}{0 , 25} = 16$ .

Відповідь:

Г 16

Завдання 3 (с. 198)

П'ятий член послідовності за формулою

$a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n}$ . Знайти $a_{5}$ .

Розв’язання

Визначимо параметри прогресії: $a_{1} = 2$ , $q = 3$ .
Запишемо формулу для п'ятого члена: $a_{5} = a_{1} \cdot q^{5 - 1} = 2 \cdot 3^{4}$ .
Обчислимо степінь: $3^{4} = 81$ .
Знайдемо значення: $a_{5} = 2 \cdot 81 = 162$ .

Відповідь:

А 162

Завдання 4 (с. 198)

Сума нескінченної геометричної прогресії

Прогресія $2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, - \frac{2}{27}, \dots$ . Знайти суму.

Розв’язання

Знайдемо знаменник $q$ : $q = \frac{- \frac{2}{3}}{2} = - \frac{1}{3}$ . Оскільки $∣ - \frac{1}{3} ∣ < 1$ , сума існує.
Перший член $a_{1} = 2$ .
Підставимо значення у формулу суми: $S = \frac{2}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}}$ .
Обчислимо дріб: $S = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ .

Відповідь:

В $\frac{3}{2}$

Завдання 5 (с. 198)

Сума парних чисел

Знайти суму всіх парних двоцифрових чисел (від 10 до 98).

Розв’язання

Знайдемо кількість членів послідовності за формулою $n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1$ . Підставляємо: $n = \frac{98 - 10}{2} + 1 = \frac{88}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$ .
Обчислимо суму за формулою $S_{45} = \frac{45 ( 10 + 98 )}{2} = \frac{45 \cdot 108}{2} = 45 \cdot 54$ .
Виконаємо множення: $45 \cdot 54 = 2430$ .

Відповідь:

Г 2430

Завдання 6 (с. 198)

Добуток членів прогресії

Знайти добуток трьох послідовних членів геометричної прогресії $b_{3} \cdot b_{4} \cdot b_{5}$ , якщо відомо, що $b_{4} = 2$ .

Розв’язання

Запишемо вираз для добутку через $b_{4}$ : $P = b_{3} \cdot b_{4} \cdot b_{5} = (\frac{b _{4}}{q}) \cdot b_{4} \cdot (b_{4} \cdot q)$ .
Скоротимо знаменник $q$ на множник $q$ : $P = b_{4}^{3}$ .
Підставимо відоме значення $b_{4} = 2$ і обчислимо: $P = 2^{3} = 8$ .

Відповідь:

В 8

Завдання 7 (с. 198)

Формула n-го члена прогресії

Записати формулу для знаходження n-го члена ( $a_{n}$ ) арифметичної прогресії, перші два члени якої дорівнюють 2 і 6 відповідно.

Розв’язання

Знайдемо різницю $d$ : $d = 6 - 2 = 4$ .
Підставимо значення $a_{1} = 2$ та $d = 4$ у формулу: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 4$ .
Спростимо вираз: $a_{n} = 2 + 4 n - 4 = 4 n - 2$ .

Відповідь:

Б $a_{n} = 4 n -2$

Завдання 8 (с. 198)

Сума геометричної прогресії

Знайти суму перших шести членів геометричної прогресії, де $b_{1} = 3$ , а знаменник $q = 2$ .

Розв’язання

Записуємо формулу для обчислення суми перших шести членів: $S_{6} = \frac{3 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1}$ .
Обчислюємо степінь знаменника: $2^{6} = 64$ .
Підставляємо значення в дужки та виконуємо ділення на одиницю: $S_{6} = 3 \cdot (64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$ .

Відповідь:

Завдання 9 (с. 198)

Вставлення членів у геометричну прогресію

Знайти два числа, які треба вставити між 2 і 31,25, щоб отримати геометричну прогресію.

Розв’язання

Знаходимо знаменник прогресії: $q = 4 \frac{31 , 25}{2} = 4 15, 625$ . Оскільки $1, 5^{4} = 5, 0625$ (не підходить), перевіримо $q = 1, 75$ або спробуємо прості дріби. Насправді $\frac{31 , 25}{2} = \frac{125}{8}$ . Корінь четвертий з $\frac{125}{8}$ не є цілим числом, перевіримо варіанти відповіді.
Перевірка варіанту А: $2; 5; 12, 5; 31, 25$ . Знаменник $q = \frac{5}{2} = 2, 5$ . Перевірка: $2 \cdot 2, 5 = 5$ ; $5 \cdot 2, 5 = 12, 5$ ; $12, 5 \cdot 2, 5 = 31, 25$ . Це підходить.
Перевірка варіанту Б: $q = 1, 5$ , $2 \cdot 1, 5 = 3$ ; $3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ ; $4, 5 \cdot 1, 5 = 6, 75 \neq = 31, 25$ .
Перевірка варіанту В: $q = 2$ , $2 \cdot 2 = 4 \neq = 2, 5$ .
Отже, правильні числа — 5 і 12,5.

Відповідь:

Завдання 10 (с. 198)

Пошук номера члена прогресії

У геометричній прогресії $3, 6, \dots$ знайти номер члена, який дорівнює 384.

Розв’язання

Знаходимо знаменник прогресії: $q = \frac{6}{3} = 2$ .
Записуємо рівняння для n-го члена: $3 \cdot 2^{n - 1} = 384$ .
Ділимо обидві частини на 3: $2^{n - 1} = 128$ .
Знаходимо степінь двійки, до якої дорівнює 128 ( $2^{7} = 128$ ), отже $n - 1 = 7$ , звідки $n = 8$ .

Відповідь: