ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 197

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 197)–9 (с. 197) · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems

Завдання 1 (с. 197)

шостий член арифметичної прогресії

$a_{1} = 4$ , $a_{2} = 14$ . Знайти $a_{6}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{2} - a_{1} = 14 - 4 = 10$ .
Обчислимо шостий член: $a_{6} = 4 + (6 - 1) \cdot 10 = 4 + 50 = 54$ .

Відповідь:

В 54

Завдання 2 (с. 197)

знаменник геометричної прогресії

$b_{1} = 16$ , $b_{3} = 4$ . Знайти знаменник $q$ .

Розв’язання

Запишемо зв'язок між першим і третім членом: $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$ , тобто $4 = 16 \cdot q^{2}$ .
Розв'яжемо рівняння: $q^{2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ , звідки $q = \pm \frac{1}{4}$ , отже $q = 0, 5$ або $q = - 0, 5$ .

Відповідь:

Г 0,5 або –0,5

Завдання 3 (с. 197)

сума нескінченної геометричної прогресії

прогресія $16, - 4, 1, - \frac{1}{4}, \dots$ . Знайти суму.

Розв’язання

Знайдемо знаменник $q$ : $q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{- 4}{16} = - 0, 25$ . Оскільки $∣ - 0, 25∣ < 1$ , сума існує.
Обчислимо суму: $S = \frac{16}{1 - ( - 0 , 25 )} = \frac{16}{1 , 25} = \frac{16}{5/4} = 16 \cdot \frac{4}{5} = \frac{64}{5} = 12 \frac{4}{5}$ .

Відповідь:

В $12 \frac{4}{5}$

Завдання 4 (с. 197)

Відповідність умов та значень прогресії

Арифметичну прогресію $(a_{n})$ задано формулою $n$ -го члена $a_{n} = 7 - 3 n$ . Потрібно знайти: 1) дев'ятий член прогресії; 2) різницю прогресії; 3) суму перших шести членів прогресії.

Розв’язання

Знайдемо різницю $d$ : коефіцієнт при $n$ у формулі $a_{n} = 7 - 3 n$ дорівнює $- 3$ , отже $d = - 3$ .
Обчислимо дев'ятий член: підставимо $n = 9$ у формулу, $a_{9} = 7 - 3 \cdot 9 = 7 - 27 = - 20$ .
Знайдемо перший член ( $n = 1$ ): $a_{1} = 7 - 3 \cdot 1 = 4$ . Обчислимо шостий член для суми: $a_{6} = 7 - 3 \cdot 6 = 7 - 18 = - 11$ .
Знайдемо суму перших шести членів: $S_{6} = \frac{6 ( a _{1} + a _{6} )}{2} = 3 (4 + (- 11)) = 3 (- 7) = - 21$ .

Відповідь:

1 — Б; 2 — Г; 3 — А.

Завдання 5 (с. 197)

Знаходження номера першого додатного члена

Дано арифметичну прогресію з членами $- 3, 6$ ; $- 3, 3$ ; $- 3, \dots$ . Потрібно визначити, починаючи з якого номера члени стануть додатними.

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = - 3, 3 - (- 3, 6) = 0, 3$ . Перший член $a_{1} = - 3, 6$ .
Запишемо формулу $n$ -го члена: $a_{n} = - 3, 6 + (n - 1) \cdot 0, 3$ .
Спростимо формулу: $a_{n} = - 3, 6 + 0, 3 n - 0, 3 = 0, 3 n - 3, 9$ .
Знайдемо перший додатний член, розв'язуючи нерівність $0, 3 n - 3, 9 > 0$ : $0, 3 n > 3, 9 \Rightarrow n > 13$ . Отже, починаючи з номера 14, члени будуть додатними.

Відповідь:

14.

Завдання 6 (с. 197)

Знаходження кількості членів прогресії за сумою

Дано геометричну прогресію, де $b_{1} = \frac{3}{2}$ , знаменник $q = 2$ , а сума перших $n$ членів $S_{n} = 1534, 5$ . Потрібно знайти кількість $n$ членів.

Розв’язання

Підставимо дані в формулу суми: $1534, 5 = \frac{\frac{3}{2} ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1}$ .
Спростимо рівняння: оскільки знаменник дробу дорівнює 1, маємо $\frac{3}{2} (2^{n} - 1) = 1534, 5$ . Перетворимо десятковий дріб на звичайний: $1534, 5 = \frac{3069}{2}$ .
Рівняння виглядає так: $\frac{3}{2} (2^{n} - 1) = \frac{3069}{2}$ . Помножимо обидві частини на 2 і поділимо на 3: $2^{n} - 1 = 1023$ .
Знайдемо $2^{n}$ : $2^{n} = 1023 + 1 = 1024$ . Оскільки $2^{10} = 1024$ , то $n = 10$ .

Відповідь:

10.

Завдання 7 (с. 197)

Сума натуральних чисел, кратних 6

Знайти суму всіх натуральних чисел, які менші від 100 і діляться на 6.

Розв’язання

Знайдемо загальний член прогресії $a_{n} = 6 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n$ .
Останнє число має задовольняти умову $6 n < 100$ , звідси $n < 16, 66$ . Отже, найбільше натуральне значення $n$ — це 16.
Знайдемо останній член: $a_{16} = 6 \cdot 16 = 96$ .
Обчислимо суму перших 16 членів прогресії за формулою $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ : $S_{16} = \frac{16 ( 6 + 96 )}{2} = 8 \cdot 102 = 816$ .

Відповідь:

816

Завдання 8 (с. 197)

Параметр геометричної прогресії

За якого значення $x$ вирази $x - 4$ , $2 x - 2$ і $7 x - 1$ утворюють послідовні члени геометричної прогресії? Знайти самі члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо умову геометричної прогресії: $(2 x - 2)^{2} = (x - 4) (7 x - 1)$ .
Розкриємо дужки та спростимо рівняння: $4 x^{2} - 8 x + 4 = 7 x^{2} - x - 28 x + 4$ , що дає $3 x^{2} - 25 x = 0$ .
Вирішимо квадратне рівняння: $x (3 x - 25) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ та $x_{2} = \frac{25}{3}$ .
Перевіримо значення $x$ :
Якщо $x = 0$ , члени прогресії: $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ . Знаменник $q = 0, 5$ . Це геометрична прогресія.
Якщо $x = \frac{25}{3}$ , члени прогресії: $\frac{17}{3}$ , $\frac{48}{3} = 16$ , $\frac{200}{3} - 1 = \frac{197}{3}$ . Перевірка: $(\frac{48}{3})^{2} = 256$ , а $(- 4) \cdot (- 1) = 4$ (не підходить, перевірка для другого варіанту).
Давайте перевіримо друге значення точніше. Члени: $\frac{25 - 12}{3} = \frac{13}{3}$ , $2 \cdot \frac{25}{3} - 2 = \frac{46}{3}$ , $7 \cdot \frac{25}{3} - 1 = \frac{172}{3}$ . Перевірка: $(\frac{46}{3})^{2} = \frac{2116}{9}$ . Добуток крайніх: $\frac{13}{3} \cdot \frac{172}{3} = \frac{2236}{9}$ . Рівність не виконується. Значить, єдиний корінь $x = 0$ .
Перевіримо ще раз розв'язання рівняння: $(2 x - 2)^{2} = (x - 4) (7 x - 1) \Rightarrow 4 x^{2} - 8 x + 4 = 7 x^{2} - x - 28 x + 4 \Rightarrow 3 x^{2} - 25 x = 0$ .
Корені: $x = 0$ та $x = \frac{25}{3}$ .
При $x = 0$ : члени $- 4, - 2, - 1$ . Відношення $\frac{- 2}{- 4} = 0, 5$ , $\frac{- 1}{- 2} = 0, 5$ . Підходить.
При $x = \frac{25}{3}$ : члени $\frac{13}{3}, \frac{46}{3}, \frac{197}{3}$ . Відношення $\frac{46/3}{13/3} = \frac{46}{13} \approx 3, 5$ , $\frac{197/3}{46/3} = \frac{197}{46} \approx 4, 28$ . Не підходить.
Отже, єдиний корінь $x = 0$ .

Відповідь:

$x = 0$ ; члени прогресії: $- 4$ , $- 2$ , $- 1$ .

Завдання 9 (с. 197)

Дослідження задачі про персики

У саду одна дитина зірвала один персик, друга — два, а кожна наступна — на один персик більше. Потім усі, хто рвали персики, розділили їх між собою порівну і кожен одержав по 6 персиків. Скільки дітей рвали персики?

Розв’язання

Кількість дітей — це кількість членів прогресії, позначимо її $n$ .
Перший член прогресії $a_{1} = 1$ , різниця $d = 1$ . Останній член $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 1 = n$ .
Сума зірваних персиків: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 1 + n )}{2}$ .
За умовою, кожен отримав по 6 персиків, отже загальна кількість персиків дорівнює $6 n$ .
Складемо рівняння: $\frac{n ( n + 1 )}{2} = 6 n$ .
Розв'яжемо рівняння: при $n \neq = 0$ ділимо на $n$ : $\frac{n + 1}{2} = 6 \Rightarrow n + 1 = 12 \Rightarrow n = 11$ .

Відповідь:

11 дітей