ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 196

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 196)–10 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems

Завдання 1 (с. 196)

Сьомий член арифметичної прогресії

Дано, що $a_{6} + a_{8} = 20$ . Знайти $a_{7}$ .

Розв’язання

Запишемо формулу зв'язку між членами: $a_{6} + a_{8} = 2 \cdot a_{7}$ .
Підставимо відому суму: $20 = 2 \cdot a_{7}$ .
Знайдемо шуканий член, розділивши на 2: $a_{7} = 10$ .

Відповідь:

В 10

Завдання 2 (с. 196)

Перший член геометричної прогресії

Дано геометричну прогресію, де $b_{3} = 4$ , а $b_{4} = 2$ . Знайти $b_{1}$ .

Розв’язання

Знайдемо знаменник $q$ : $q = \frac{b _{4}}{b _{3}} = \frac{2}{4} = 0, 5$ .
Запишемо формулу для третього члена: $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$ .
Підставимо значення і знайдемо $b_{1}$ : $4 = b_{1} \cdot (0, 5)^{2} \Rightarrow 4 = b_{1} \cdot 0, 25 \Rightarrow b_{1} = 16$ .

Відповідь:

Г 16

Завдання 3 (с. 196)

П'ятий член рекурентної послідовності

Дано $a_{1} = 2$ і формулу переходу $a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n}$ . Знайти $a_{5}$ .

Розв’язання

Визначимо, що це геометрична прогресія з $q = 3$ .
Запишемо формулу для п'ятого члена: $a_{5} = a_{1} \cdot q^{5 - 1} = 2 \cdot 3^{4}$ .
Обчислимо степінь та добутки: $3^{4} = 81$ , отже $a_{5} = 2 \cdot 81 = 162$ .

Відповідь:

А 162

Завдання 4 (с. 196)

Сума нескінченної геометричної прогресії

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії з членами $2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, - \frac{2}{27}, \dots$ .

Розв’язання

Перший член прогресії $b_{1} = 2$ . Знаменник $q = \frac{- \frac{2}{3}}{2} = - \frac{1}{3}$ . Оскільки $∣ - \frac{1}{3} ∣ < 1$ , сума існує.
Підставимо значення у формулу: $S = \frac{2}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}}$ .

Відповідь:

$\frac{3}{2}$

Завдання 5

Сума парних двоцифрових чисел

Знайти суму всіх парних чисел, які мають від двох до дев'яти цифр ( $20, 22, \dots, 98$ ).

Розв’язання

Кількість членів прогресії: $n = \frac{98 - 20}{2} + 1 = \frac{78}{2} + 1 = 39 + 1 = 40$ .
Сума чисел: $S = \frac{40}{2} (20 + 98) = 20 \cdot 118 = 2360$ .

Відповідь:

2360

Завдання 6

Добуток членів геометричної прогресії

Знайти добуток трьох послідовних членів геометричної прогресії $b_{3} \cdot b_{4} \cdot b_{5}$ , якщо відомо, що $b_{4} = 2$ .

Розв’язання

За властивістю геометричної прогресії маємо: $b_{3} \cdot b_{5} = b_{4}^{2}$ .
Підставимо це у вираз для добутку трьох членів: $b_{3} \cdot b_{4} \cdot b_{5} = (b_{4} \cdot b_{4}) \cdot b_{4} = b_{4}^{3}$ .
Обчислимо значення: $2^{3} = 8$ .

Відповідь:

Завдання 7

Формула n-го члена арифметичної прогресії

Дано послідовність $2, 6, \dots$ . Потрібно знайти формулу для $n$ -го члена $a_{n}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d = 6 - 2 = 4$ . Перший член $a_{1} = 2$ .
Підставимо значення в загальну формулу: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 4 = 2 + 4 n - 4 = 4 n - 2$ .

Відповідь:

Завдання 8

Сума перших шести членів геометричної прогресії

Дано $b_{1} = 3$ , знаменник $q = 2$ . Потрібно знайти суму перших шести членів ( $S_{6}$ ).

Розв’язання

Використовуємо формулу суми для $n = 6$ : $S_{6} = \frac{3 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1}$ .
Обчислюємо ступінь та дужки: $2^{6} = 64$ , отже $S_{6} = \frac{3 ( 64 - 1 )}{1} = 3 \cdot 63 = 189$ .

Відповідь:

Завдання 9

Вставлення членів у геометричну прогресію

Між числами $2$ і $31, 25$ треба вставити два числа так, щоб усі три (разом із початковими) утворили геометричну прогресію.

Розв’язання

Перевіримо варіант В: числа $2, 2, 5, 8$ . Перевіряємо співвідношення: $2, 5/2 = 1, 25$ , а $8/2, 5 = 3, 2$ . Це не прогресія.
Перевіримо варіант Г: числа $2, 3, 5, 4$ . Співвідношення різні.
Перевіримо варіант А: числа $2, 5, 12, 5$ . Співвідношення різні.
Перевіримо варіант Б: числа $2, 3, 4, 5$ . Співвідношення різні.
Перевіримо варіант В ще раз уважніше: чи не помилився я в розумінні "між числами"? Умова каже "вставити між", отже прогресія має вигляд $2, x, y, 31, 25$ . Тоді $q^{3} = 31, 25/2 = 15, 625$ . Корінь кубічний з $15, 625$ дорівнює $2, 5$ .
Знайдемо проміжні числа: друге число $2 \cdot 2, 5 = 5$ , третє число $5 \cdot 2, 5 = 12, 5$ . Отже, числа $5$ і $12, 5$ .

Відповідь:

Завдання 10

Номер члена геометричної прогресії

У геометричній прогресії перший член $a_{1} = 3$ , другий член $a_{2} = 6$ . Потрібно знайти номер члена, який дорівнює $384$ .

Розв’язання

Знайдемо знаменник прогресії: $q = \frac{6}{3} = 2$ .
Підставимо значення у формулу $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ : $384 = 3 \cdot 2^{n - 1}$ .
Поділимо обидві частини рівняння на 3: $128 = 2^{n - 1}$ .
Запишемо число 128 у вигляді степеня з основою 2: $128 = 2^{7}$ . Отже, $2^{n - 1} = 2^{7}$ , звідки $n - 1 = 7$ і $n = 8$ .

Відповідь:

Число 384 міститься під номером 8 (варіант В).