Завдання 969, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 969

Розв'язання нерівності з дробом

Знайти множину значень $x$ , при яких виконується нерівність $\frac{x ^{2} - x - 12}{x + 4} ⩾ 0$ .

Розв’язання

Розкладемо чисельник: $(x - 4) (x + 3)$ . Нулі знаменника: $x = - 4$ . Критичні точки: $- 4; - 3; 4$ .
Перевіримо знаки на проміжках:
- При $x < - 4$ (напр. $- 5$ ): $\frac{( - ) ( - )}{-} = -$ (від'ємний).
- При $- 4 < x < - 3$ (напр. $- 3, 5$ ): $\frac{( - ) ( + )}{+} = -$ (від'ємний).
- При $- 3 < x < 4$ (напр. $0$ ): $\frac{( - ) ( + )}{+} = -$ (від'ємний)? Перевіримо: при $x = 0$ , чисельник $- 12$ , знаменник $4$ , результат від'ємний.
- При $x > 4$ (напр. $5$ ): $\frac{( + ) ( + )}{+} = +$ (додатний).
Здається, я помилився в аналізі знаків для проміжку $(- 3; 4)$ . Перевіримо ще раз: при $x = 0$ , чисельник $- 12$ , знаменник $4$ , дріб від'ємний. При $x = - 3, 5$ : чисельник $(- 3, 5)^{2} - (- 3, 5) - 12 = 12, 25 + 3, 5 - 12 > 0$ . Знаменник $- 3, 5 + 4 > 0$ . Отже, на проміжку $(- 4; - 3)$ вираз додатний.
Перевіримо ще раз знаки:
Корені чисельника: $x_{1} = - 3, x_{2} = 4$ . Нуль знаменника: $- 4$ .
При $x < - 4$ : чисельник $(+) (-) = (-)$ , знаменник $(-)$ . Дріб $(+) / (-) = (-)$ .
При $- 4 < x < - 3$ : чисельник $(+) (-) = (-)$ , знаменник $(+)$ . Дріб $(-) / (+) = (-)$ .
При $- 3 < x < 4$ : чисельник $(-) (-) = (+)$ , знаменник $(+)$ . Дріб $(+) / (+) = (+)$ .
При $x > 4$ : чисельник $(+) (+) = (+)$ , знаменник $(+)$ . Дріб $(+) / (+) = (+)$ .
Ой, помилка в розкладанні чи аналізі. Перевіримо корені: $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ . При $x = 0$ : $(- 4) (3) = - 12$ (від'ємний). При $x = - 3, 5$ : $(- 7, 5) (- 0, 5) = + 3, 75$ (додатний).
Отже, чисельник додатний на $(- \infty; - 3)$ та $(4; + \infty)$ .
Нуль знаменника $- 4$ .
Проаналізуємо знаки $\frac{числ}{знам}$ :
$x < - 4$ : Числ $(+)$ , Знам $(-) \Rightarrow$ Дріб $(-)$ .
$- 4 < x < - 3$ : Числ $(+)$ , Знам $(+) \Rightarrow$ Дріб $(+)$ .
$- 3 < x < 4$ : Числ $(-)$ , Знам $(+) \Rightarrow$ Дріб $(-)$ .
$x > 4$ : Числ $(+)$ , Знам $(+) \Rightarrow$ Дріб $(+)$ .
Нерівність $⩾ 0$ , тому беремо проміжки з додатними значеннями та корені чисельника ( $- 3; 4$ ), але виключаємо $- 4$ .

Відповідь:

$(- \infty; - 4) \cup [- 3; 4]$ ? Ні, на проміжку $(- 4; - 3)$ дріб додатний. На проміжку $(4; + \infty)$ дріб додатний. Корені чисельника $- 3$ і $4$ .
Отже, розв'язок: $(- 4; - 3] \cup [4; + \infty)$ .
Перевіримо ще раз умову завдання 969 з підручника (зазвичай це $\frac{x ^{2} - x - 12}{x + 4} ⩾ 0$ ).
Корені чисельника: $- 3, 4$ . Нуль знаменника: $- 4$ .
Знаки:
$x < - 4$ : $\frac{( - ) ( - )}{-} = \frac{+}{-} = -$ (не підходить).
$- 4 < x < - 3$ : $\frac{( + ) ( - )}{+} = \frac{-}{+} = -$ (не підходить).
$- 3 < x < 4$ : $\frac{( - ) ( - )}{+} = \frac{+}{+} = +$ (підходить).
$x > 4$ : $\frac{( + ) ( + )}{+} = +$ (підходить).
Тобто підходить $[- 3; 4] \cup (4; + \infty) = [- 3; + \infty)$ ? Ні, при $x = 4$ чисельник 0, дріб 0. При $x > 4$ додатний.
А що з проміжком $(- 4; - 3)$ ? Чисельник $(x + 3) (x - 4)$ . Якщо $x = - 3, 5$ , то $(- 0, 5) (- 7, 5) = + 3, 75$ (додатний). Знаменник $- 3, 5 + 4 = 0, 5$ (додатний). Дріб додатний.
Тобто на проміжку $(- 4; - 3)$ дріб додатний.
Чому я раніше писав від'ємний? Оскільки помилково визначив знаки множників чисельника.
$x < - 3 \Rightarrow x + 3 < 0$ . $x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0$ . Добуток двох від'ємних — додатний.
Отже, на проміжку $(- 4; - 3)$ дріб додатний.
На проміжку $(- 3; 4)$ : $x + 3 > 0$ , $x - 4 < 0$ . Добуток від'ємний. Знаменник додатний. Дріб від'ємний.
Отже, правильні проміжки: $(- 4; - 3]$ та $[4; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?