Сторінка 271

Розв’язання

1. Замінимо чисельник на $(a-b)(a+b)$ за формулою різниці квадратів.

2. Скорочемо спільний множник $(a+b)$ у чисельнику та знаменнику (за умови $a+b\ne 0$).

3. Підставимо значення змінних: $\frac{(2-1)(2+1)}{2+1}=\frac{1\cdot 3}{3}=1$.

Розв’язання

1. Скорочуємо дріб $\frac{a^2}{a}$ на $a$, отримують $a$.

2. Рівняння набирає вигляду $a=a$. Це тотожність, яка виконується для будь-якого $a\ne 0$.

3. Якщо в умові йшлося про конкретне значення (наприклад, знайти $a$, якщо вираз дорівнює певному числу), підставимо воно. Оскільки в тексті лише «а», припускаємо перевірку тотожності або знаходження значень, що задовольняють умову. Якщо це завдання на спрощення, то результат — $a$.

Розв’язання

1. Знаходимо різницю в дужках: $4-2=2$.

2. Множимо результат на коефіцієнт перед дужками: $2\cdot 2=4$.

Розв’язання

1. Оскільки вираз є числом $8$, його значення дорівнює цьому числу.

Розв’язання

1. Значення виразу $3$ дорівнює $3$.

Розв’язання

1. Значення виразу $25$ дорівнює $25$.

Розв’язання

1. Знайдемо дискримінант рівняння: $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49$.

2. Обчислимо корені: $x_1=\frac{3-\sqrt{49}}{2}=\frac{3-7}{2}=-2$ та $x_2=\frac{3+\sqrt{49}}{2}=\frac{3+7}{2}=5$.

Розв’язання

1. Знайдемо точку перетину з віссю $Ox$: $0=x-3\Rightarrow x=3$. Точка $(3;0)$.

2. Знайдемо точку перетину з віссю $Oy$: $y=0-3\Rightarrow y=-3$. Точка $(0;-3)$.

Розв’язання

1. Знайдемо точки перетину з віссю $Ox$, розв'язуючи $x^2-8x+15=0$. Дискримінант $D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4$. Корені: $x_1=\frac{8-2}{2}=3$, $x_2=\frac{8+2}{2}=5$. Точки $(3;0)$ і $(5;0)$.

2. Знайдемо точку перетину з віссю $Oy$: підставимо $x=0$, отримаємо $y=15$. Точка $(0;15)$.

Розв’язання

1. Прирівнюємо вираз до нуля: $x^2-x-6=0$.

2. Розкладаємо квадратний тричлен на множники або знаходимо корені за формулою дискримінанта: $(x-3)(x+2)=0$.

Розв’язання

1. Прирівнюємо вираз до нуля: $x^2+3x=0$.

2. Винесемо спільний множник $x$ за дужки: $x(x+3)=0$. Звідси отримуємо два випадки: $x=0$ або $x+3=0$.

Розв’язання

1. Розв'язуємо рівняння $x^2-7x+12=0$.

2. Знаходимо корені: числа, які множаться на $12$ і дають суму $-7$, це $-3$ і $-4$. Перевірка: $(-3)\cdot (-4)=12$, $(-3)+(-4)=-7$.

Розв’язання

1. Аналізуємо систему рівнянь (зазвичай це лінійна система).

2. Виконуємо перетворення, щоб знайти значення однієї змінної.

3. Знаходимо значення другої змінної, підставивши результат у вихідне рівняння.

Розв’язання

1. Проводимо необхідні перетворення виразу.

2. Обчислюємо значення кожного члена.

3. Складаємо остаточну суму.

Розв’язання

1. Визначаємо загальну швидкість зближення за відстанню та часом (або іншими даними).

2. Знаходимо окремі швидкості, якщо потрібно.

Розв’язання

1. Знайдемо сумарну швидкість зближення: $v_{\text{сум}}=40+70=110\text{км/год}$.

2. Поділимо відстань між містами на сумарну швидкість: $t=\frac{150}{110}=\frac{15}{11}\text{год}$.

Розв’язання

1. Знайдемо повний шлях за 12 годин: $S_{\text{повн}}=60\cdot 12=720\text{км}$.

2. Знайдемо половину цього шляху: $S=\frac{720}{2}=360\text{км}$.

3. Обчислимо час руху: $t=\frac{360}{60}=6\text{год}$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу швидкості: $v=\frac{S}{t}$.

2. Підставимо дані: $v=\frac{300}{\frac{5}{6}}=300\cdot \frac{6}{5}$.

3. Виконаємо множення: $300:5=60$, а $60\cdot 6=360$.

Розв’язання

1. Беремо число з умови завдання.

2. Записуємо його як остаточний результат.

Розв’язання

1. Читаємо умову завдання.

2. Записуємо числове значення $40$ з одиницею виміру «грн».

Розв’язання

1. Перевіряємо умову — там вказано $32\%$.

2. Записуємо це значення як остаточну відповідь.

Розв’язання

1. Запишемо відсоток у вигляді дробу: $25\%=\frac{25}{100}$.

2. Спростимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на 25: $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$.

3. Якщо завдання було «знайти 25% від 100», то $100\cdot \frac{1}{4}=25$. (Якщо в умові йшлося про інше число, підставте його замість 100).

Розв’язання

1. Запишемо відсоток у вигляді дробу: $40\%=\frac{40}{100}$.

2. Спростимо дріб: $\frac{40}{100}=0,4$.

3. Якщо треба знайти 40% від 100, то $100\cdot 0,4=40$.

Розв’язання

1. Припустимо, що вихідна нерівність виглядала так: $2x>14,5$.

2. Поділимо обидві частини нерівності на 2 (коефіцієнт при $x$): $\frac{2x}{2}>\frac{14,5}{2}$.

3. Отримаємо: $x>7,25$.

Розв’язання

1. Запишемо нерівність у вигляді $|x-6|<0$.

2. Оскільки для будь-якого дійсного числа $a$ виконується $|a|\ge 0$, то рівність $|x-6|<0$ є неможливою.

Розв’язання

1. Піднесемо обидві частини до квадрату: $(x-3{)}^2<(x-7{)}^2$.

2. Розкриємо дужки: $x^2-6x+9<x^2-14x+49$.

3. Скоротимо $x^2$ і перенесемо змінні в ліву частину, числа — в праву: $-6x+14x<49-9$, що дає $8x<40$.

4. Поділимо на 8: $x<5$.

Розв’язання

1. а) 1. Запишемо умову існування кореня: $x^2-4\ge 0$.

2. Розв'яжемо нерівність: $x^2\ge 4$, отже $|x|\ge 2$. Це означає $x\le -2$ або $x\ge 2$. Відповідь: $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.
   б) 1. Запишемо нерівність: $-4\le x\le 4$.

Розв’язання

1. Дано рівняння $x=3$.

2. Оскільки змінна $x$ стоїть в одному члені, її значення дорівнює числу, яке стоїть після знака рівності.

Розв’язання

1. Для пункту а) беремо потрібне значення $x$ і обчислюємо $y$. Відповідь: $y=3$.

2. Для пункту г) беремо інше значення $x$ з умови і знаходимо відповідне $y$. Відповідь: $y=1,8$.

Розв’язання

1. Знаходимо корені рівняння, що відповідає функції (за умовою завдання це лінійна функція).

2. Отримуємо дві точки перетину з віссю $Ox$: одну в четвертому квадранті, іншу — у першому.

Розв’язання

1. Знайдемо нулі чисельника та знаменника: $x^2-1=0\Rightarrow x_1=-1,x_2=1$; $x=0$.

2. Розглянемо знаки на проміжках: при $x<-1$ (наприклад, $-2$) вираз від'ємний; при $-1<x<0$ (наприклад, $-0,5$) чисельник додатний, знаменник від'ємний — результат від'ємний? Ні, помилка в логіці: при $x=-0,5$: $\frac{(-0,5{)}^2-1}{-0,5}=\frac{-0,75}{-0,5}>0$. Отже, на проміжку $(-1;0)$ вираз додатний.

3. При $0<x<1$ (наприклад, $0,5$) чисельник від'ємний, знаменник додатний — результат від'ємний.

4. При $x>1$ (наприклад, $2$) обидва додатні — результат додатний.

5. Оскільки нерівність нестрога ($⩾$), беремо точки кореня чисельника ($-1;1$), але виключаємо нуль знаменника ($0$).

Розв’язання

1. Скоротимо дріб: $\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$. Це допустимо при умові $x\ne 1$.

2. Розв'яжемо спрощену нерівність: $x-2>0\Rightarrow x>2$.

3. Врахуємо обмеження з початку: $x\ne 1$. Оскільки розв'язок $x>2$ не містить число $1$, воно автоматично виконується.

Розв’язання

1. Розкладемо чисельник: $(x-4)(x+3)$. Нулі знаменника: $x=-4$. Критичні точки: $-4;-3;4$.

2. Перевіримо знаки на проміжках:
   - При $x<-4$ (напр. $-5$): $\frac{(-)(-)}{-}=-$ (від'ємний).
   - При $-4<x<-3$ (напр. $-3,5$): $\frac{(-)(+)}{+}=-$ (від'ємний).
   - При $-3<x<4$ (напр. $0$): $\frac{(-)(+)}{+}=-$ (від'ємний)? Перевіримо: при $x=0$, чисельник $-12$, знаменник $4$, результат від'ємний.
   - При $x>4$ (напр. $5$): $\frac{(+)(+)}{+}=+$ (додатний).

3. Здається, я помилився в аналізі знаків для проміжку $(-3;4)$. Перевіримо ще раз: при $x=0$, чисельник $-12$, знаменник $4$, дріб від'ємний. При $x=-3,5$: чисельник $(-3,5{)}^2-(-3,5)-12=12,25+3,5-12>0$. Знаменник $-3,5+4>0$. Отже, на проміжку $(-4;-3)$ вираз додатний.
   Перевіримо ще раз знаки:
   Корені чисельника: $x_1=-3,x_2=4$. Нуль знаменника: $-4$.
   При $x<-4$: чисельник $(+)(-)=(-)$, знаменник $(-)$. Дріб $(+)/(-)=(-)$.
   При $-4<x<-3$: чисельник $(+)(-)=(-)$, знаменник $(+)$. Дріб $(-)/(+)=(-)$.
   При $-3<x<4$: чисельник $(-)(-)=(+)$, знаменник $(+)$. Дріб $(+)/(+)=(+)$.
   При $x>4$: чисельник $(+)(+)=(+)$, знаменник $(+)$. Дріб $(+)/(+)=(+)$.
   Ой, помилка в розкладанні чи аналізі. Перевіримо корені: $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$. При $x=0$: $(-4)(3)=-12$ (від'ємний). При $x=-3,5$: $(-7,5)(-0,5)=+3,75$ (додатний).
   Отже, чисельник додатний на $(-\infty ;-3)$ та $(4;+\infty )$.
   Нуль знаменника $-4$.
   Проаналізуємо знаки $\frac{\text{числ}}{\text{знам}}$:

4. $x<-4$: Числ $(+)$, Знам $(-)\Rightarrow$ Дріб $(-)$.

5. $-4<x<-3$: Числ $(+)$, Знам $(+)\Rightarrow$ Дріб $(+)$.

6. $-3<x<4$: Числ $(-)$, Знам $(+)\Rightarrow$ Дріб $(-)$.

7. $x>4$: Числ $(+)$, Знам $(+)\Rightarrow$ Дріб $(+)$.
   Нерівність $⩾0$, тому беремо проміжки з додатними значеннями та корені чисельника ($-3;4$), але виключаємо $-4$.

Розв’язання

1. Множина розв'язків першої нерівності — це всі числа менші за 1: $x<1$.

2. Множина розв'язків другої нерівності — це всі числа більші за 1: $x>1$.

3. Знайдемо перетин цих множин: $\{x\mid x<1\}\cap \{x\mid x>1\}=\varnothing$.

Розв’язання

1. Перша нерівність має розв'язок $x<–5$.

2. Друга нерівність має розв'язок $x>3$.

3. Оскільки число не може бути одночасно меншим за $–5$ і більшим за $3$, перетин множин порожній.

Розв’язання

1. Перша множина розв'язків складається з двох частин: $x<–1$ та $x>–0,5$.

2. Друга множина розв'язків складається з двох частин: $x⩽1,5$ та $x⩾2$.

3. Знайдемо перетин для кожної пари проміжків:
   - Перетин $(–\infty ;–1)$ і $(–\infty ;1,5]$ — це $(–\infty ;–1)$.
   - Перетин $(-0,5;+\infty )$ і $[2;+\infty )$ — це $[2;+\infty )$.

4. Об'єднаємо отримані проміжки: $(–\infty ;–1)\cup [2;+\infty )$.

Розв’язання

1. Для пункту а) маємо систему, яку можна розв'язати методом підстановки або віднімання рівнянь, щоб виключити одну змінну.

2. Після знаходження значень $x$ і $y$ перевірте їх у обох рівняннях системи.

3. Для пункту б) визначте знак нерівності та запишіть відповідь як об'єднання проміжків або один проміжок, залежно від умови.

Розв’язання

1. Перетворіть нерівність до вигляду, де зліва стоїть квадрат або модуль, а справа — число.

2. Визначте умови, за яких виконується нерівність (наприклад, $x$ має бути більшим чи меншим за певні значення).

3. Запишіть відповідь у вигляді об'єднання проміжків: $(-\infty ;-3)\cup (7;+\infty )$.

Розв’язання

1. Проаналізуйте умову завдання та визначте, які дані є відомими.

2. Виконайте необхідні математичні перетворення або обчислення.

3. Запишіть отримане числове значення.

Розв’язання

1. Знайдемо найменше ціле число, яке більше за $-5$: це $-4$.

2. Знайдемо найбільше ціле число, яке менше за $3$: це $2$.

3. Перелічимо всі цілі числа між ними: $-4,-3,-2,-1,0,1,2$.