Визначення кількості членів геометричної прогресії
У зростаючій геометричній прогресії сума першого і останнього члена дорівнює 66, добуток другого і передостаннього — 128, а сума всіх членів становить 126. Потрібно знайти кількість членів.
Розв’язання
За властивістю геометричної прогресії b1⋅bn=b2⋅bn−1. Але в умові дано сума перших і останніх (66) та добуток середніх (128). Це не стандартна властивість сум. Перечитаємо уважно: "сума першого і останнього... 66, добуток другого і передостаннього — 128".
Нехай b1=x, bn=y. Тоді x+y=66. Також b2⋅bn−1=(xq)⋅(y/q)=xy=128.
Знайдемо числа x і y, які є коренями рівняння t2−66t+128=0. Дискримінант D=662−4⋅128=4356−512=3844. 3844=62.
Корені: t1=266−62=2, t2=266+62=64. Оскільки прогресія зростаюча, b1=2, bn=64.
Знайдемо кількість членів n та знаменник q. Ми не знаємо q одразу, але можемо перевірити степені: bk=b1qk−1. Якщо bn=64, то 2⋅qn−1=64⇒qn−1=32.
Сума прогресії Sn=126. Формула суми: Sn=b1q−1qn−1=2q−1qn−1=126⇒qn−1=63(q−1).
Перевіримо можливі значення q та n. Якщо q=4, то 4n−1=32⇒n−1=2,5 (не ціле). Якщо q=2, 2n−1=32⇒n−1=5⇒n=6. Перевіримо суму для n=6,q=2: S6=2(26−1)/(2−1)=2(63)/1=126. Умова виконується.
Відповідь:
Кількість членів у прогресії — 6.
Розбір зрозумілий?
§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової подіїЗавдання 1323с. 264
Визначення кількості членів геометричної прогресії
Умова
У зростаючій геометричній прогресії сума першого і останнього члена дорівнює 66, добуток другого і передостаннього — 128, а сума всіх членів становить 126. Потрібно знайти кількість членів.
Що треба знати
У геометричній прогресії сума першого та останнього члена (b1+bn) дорівнює сумі другого і передостаннього (b2+bn−1), якщо n>2. Оскільки дано, що b1+bn=66, а b2+bn−1=128, це можливо лише тоді, коли кількість членів така, що ці пари не збігаються. Але в умові сказано про добуток другого і передостаннього. За властивістю прогресії b1⋅bn=b2⋅bn−1. Тут дана сума, а не добуток. Перевіримо умову: сума першого і останнього — 66, добуток другого і передостаннього — 128. Оскільки прогресія зростаюча, b1<bn.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Скористайся властивістю геометричної прогресії про добутки членів. Знайди перший і останній члени через систему рівнянь або підказку з добутком. Визнач кількість членів, перевіряючи суму всіх членів за формулою Sn=q−1b1(bnq−b1) або просто додаючи знайдені числа.
Розв’язання крок за кроком
За властивістю геометричної прогресії b1⋅bn=b2⋅bn−1. Але в умові дано сума перших і останніх (66) та добуток середніх (128). Це не стандартна властивість сум. Перечитаємо уважно: "сума першого і останнього... 66, добуток другого і передостаннього — 128".
Нехай b1=x, bn=y. Тоді x+y=66. Також b2⋅bn−1=(xq)⋅(y/q)=xy=128.
Знайдемо числа x і y, які є коренями рівняння t2−66t+128=0. Дискримінант D=662−4⋅128=4356−512=3844. 3844=62.
Корені: t1=266−62=2, t2=266+62=64. Оскільки прогресія зростаюча, b1=2, bn=64.
Знайдемо кількість членів n та знаменник q. Ми не знаємо q одразу, але можемо перевірити степені: bk=b1qk−1. Якщо bn=64, то 2⋅qn−1=64⇒qn−1=32.
Сума прогресії Sn=126. Формула суми: Sn=b1q−1qn−1=2q−1qn−1=126⇒qn−1=63(q−1).
Перевіримо можливі значення q та n. Якщо q=4, то 4n−1=32⇒n−1=2,5 (не ціле). Якщо q=2, 2n−1=32⇒n−1=5⇒n=6. Перевіримо суму для n=6,q=2: S6=2(26−1)/(2−1)=2(63)/1=126. Умова виконується.
