ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 264

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1319–1326 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1319

Сума членів арифметичної прогресії

Дано дві арифметичні прогресії. Перший і п'ятий члени першої прогресії дорівнюють відповідно $7$ і $- 5$ . У другій прогресії перший член дорівнює $0$ , а останній — $3, 5$ . Знайти суму членів другої прогресії, якщо відомо, що треті члени обох прогресій рівні між собою.

Розв’язання

Знайдемо різницю першої прогресії $d_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d_{1} \Rightarrow - 5 = 7 + 4 d_{1} \Rightarrow d_{1} = - 3$ .
Обчислимо третій член першої прогресії: $a_{3} = 7 + 2 (- 3) = 1$ . Оскільки треті члени рівні, то $b_{3} = 1$ для другої прогресії.
Для другої прогресії маємо $b_{1} = 0$ , $b_{n} = 3, 5$ і $b_{3} = 1$ . Знайдемо різницю $d_{2}$ : $b_{3} = b_{1} + 2 d_{2} \Rightarrow 1 = 0 + 2 d_{2} \Rightarrow d_{2} = 0, 5$ .
Виразимо кількість членів $n$ через крайні члени: $b_{n} = b_{1} + (n - 1) d_{2} \Rightarrow 3, 5 = 0 + (n - 1) 0, 5 \Rightarrow n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$ .

Відповідь:

Сума членів другої прогресії дорівнює $S_{8} = \frac{8 ( 0 + 3 , 5 )}{2} = 14$ .

Завдання 1320

Знаходження параметрів геометричної прогресії

У геометричній прогресії $b_{7} = 80$ , $b_{8} = - 160$ . Знайти $b_{1}, q, b_{5}$ .

Розв’язання

Знайдемо знаменник прогресії: $q = \frac{b _{8}}{b _{7}} = \frac{- 160}{80} = - 2$ .
Знайдемо перший член, використовуючи $b_{7}$ : $b_{7} = b_{1} \cdot q^{6} \Rightarrow 80 = b_{1} \cdot (- 2)^{6} \Rightarrow 80 = b_{1} \cdot 64 \Rightarrow b_{1} = \frac{80}{64} = 1, 25$ .
Знайдемо п'ятий член: $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4} = 1, 25 \cdot (- 2)^{4} = 1, 25 \cdot 16 = 20$ .

Відповідь:

$b_{1} = 1, 25$ , $q = - 2$ , $b_{5} = 20$ .

Завдання 1321

Знаходження параметрів геометричної прогресії (відомі не сусідні члени)

У геометричній прогресії $b_{6} = 18$ , $b_{4} = 72$ . Знайти $b_{1}, q$ .

Розв’язання

Знайдемо квадрат знаменника: $\frac{b _{6}}{b _{4}} = q^{2} \Rightarrow \frac{18}{72} = q^{2} \Rightarrow q^{2} = \frac{1}{4}$ . Отже, $q = \pm 0, 5$ .
Знайдемо перший член для $q = 0, 5$ : $b_{6} = b_{1} \cdot (0, 5)^{5} \Rightarrow 18 = b_{1} \cdot \frac{1}{32} \Rightarrow b_{1} = 18 \cdot 32 = 576$ .
Знайдемо перший член для $q = - 0, 5$ : $b_{6} = b_{1} \cdot (- 0, 5)^{5} \Rightarrow 18 = b_{1} \cdot (- \frac{1}{32}) \Rightarrow b_{1} = - 576$ .

Відповідь:

Існує два варіанти прогресії: $b_{1} = 576, q = 0, 5$ або $b_{1} = - 576, q = - 0, 5$ .

Завдання 1322

Знаходження геометричної прогресії за сумами членів

Потрібно знайти шестичленну геометричну прогресію. Сума трьох перших членів дорівнює $168$ , а сума трьох останніх — $21$ .

Розв’язання

Запишемо співвідношення між сумами: $\frac{b _{4} + b _{5} + b _{6}}{b _{1} + b _{2} + b _{3}} = \frac{q ^{3} ( b _{1} + b _{1} q + b _{1} q ^{2} )}{b _{1} ( 1 + q + q ^{2} )} = q^{3}$ .
Підставимо відомі значення: $\frac{21}{168} = q^{3}$ . Скоротимо дріб: $21 : 168 = 1 : 8$ , отже $q^{3} = \frac{1}{8}$ , звідки $q = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо перший член $b_{1}$ з рівняння $b_{1} (1 + q + q^{2}) = 168$ . Підставимо $q = 0, 5$ : $b_{1} (1 + 0, 5 + 0, 25) = 168 \Rightarrow b_{1} \cdot 1, 75 = 168$ .
Обчислимо $b_{1}$ : $b_{1} = \frac{168}{1 , 75} = 96$ . Тепер знайдемо всі члени: $b_{2} = 96 \cdot 0, 5 = 48$ , $b_{3} = 24$ , $b_{4} = 12$ , $b_{5} = 6$ , $b_{6} = 3$ .

Відповідь:

Прогресія складається з членів $96, 48, 24, 12, 6, 3$ .

Завдання 1323

Визначення кількості членів геометричної прогресії

У зростаючій геометричній прогресії сума першого і останнього члена дорівнює $66$ , добуток другого і передостаннього — $128$ , а сума всіх членів становить $126$ . Потрібно знайти кількість членів.

Розв’язання

За властивістю геометричної прогресії $b_{1} \cdot b_{n} = b_{2} \cdot b_{n - 1}$ . Але в умові дано сума перших і останніх ( $66$ ) та добуток середніх ( $128$ ). Це не стандартна властивість сум. Перечитаємо уважно: "сума першого і останнього... 66, добуток другого і передостаннього — 128".
Нехай $b_{1} = x$ , $b_{n} = y$ . Тоді $x + y = 66$ . Також $b_{2} \cdot b_{n - 1} = (x q) \cdot (y / q) = x y = 128$ .
Знайдемо числа $x$ і $y$ , які є коренями рівняння $t^{2} - 66 t + 128 = 0$ . Дискримінант $D = 6 6^{2} - 4 \cdot 128 = 4356 - 512 = 3844$ . $3844 = 62$ .
Корені: $t_{1} = \frac{66 - 62}{2} = 2$ , $t_{2} = \frac{66 + 62}{2} = 64$ . Оскільки прогресія зростаюча, $b_{1} = 2$ , $b_{n} = 64$ .
Знайдемо кількість членів $n$ та знаменник $q$ . Ми не знаємо $q$ одразу, але можемо перевірити степені: $b_{k} = b_{1} q^{k - 1}$ . Якщо $b_{n} = 64$ , то $2 \cdot q^{n - 1} = 64 \Rightarrow q^{n - 1} = 32$ .
Сума прогресії $S_{n} = 126$ . Формула суми: $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = 2 \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = 126 \Rightarrow q^{n} - 1 = 63 (q - 1)$ .
Перевіримо можливі значення $q$ та $n$ . Якщо $q = 4$ , то $4^{n - 1} = 32 \Rightarrow n - 1 = 2, 5$ (не ціле). Якщо $q = 2$ , $2^{n - 1} = 32 \Rightarrow n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$ . Перевіримо суму для $n = 6, q = 2$ : $S_{6} = 2 (2^{6} - 1) / (2 - 1) = 2 (63) /1 = 126$ . Умова виконується.

Відповідь:

Кількість членів у прогресії — 6.

Завдання 1324

Задача про збір гранатів (Задача Джемшіда аль-Каші)

Перша людина зірвала $1$ гранат, друга — $2$ , третя — $3$ і так далі (арифметична прогресія). Всі зібрані гранати розділили порівну, кожен отримав по $6$ . Потрібно знайти кількість людей.

Розв’язання

Кількість гранатів, зіраних усіма людьми разом, дорівнює сумі перших $n$ членів прогресії: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ . Оскільки $a_{1} = 1$ і $d = 1$ , то $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 1 = n$ .
Сума гранатів: $S_{n} = \frac{n ( 1 + n )}{2}$ .
За умовою, кожен з $n$ людей отримав по $6$ гранатів, тому загальна сума дорівнює $6 n$ .
Складемо рівняння: $\frac{n ( n + 1 )}{2} = 6 n$ . Оскільки $n \neq = 0$ , поділимо обидві частини на $n$ : $\frac{n + 1}{2} = 6$ .
Розв'яжемо рівняння: $n + 1 = 12 \Rightarrow n = 11$ .

Відповідь:

Гранати збирало 11 людей.

Завдання 1325

Переслідування подорожніх

Подорожній 1 проходить $d_{1} = 2$ од. у перший день, збільшуючи на $3$ одиниці щодня ( $a_{1} = 2, d = 3$ ). Подорожній 2 проходить $d_{2} = 3$ од. у перший день, збільшуючи на $2$ одиниці щодня ( $b_{1} = 3, d = 2$ ). Обидва вийшли одночасно з одного місця. Коли перший наздожене другого?

Розв’язання

Запишемо формули для відстаней: $S_{1} = \frac{n}{2} (2 + (2 + 3 (n - 1))) = \frac{n}{2} (5 + 3 n - 3) = \frac{3 n ^{2} + 2 n}{2}$ , а $S_{2} = \frac{n}{2} (3 + (3 + 2 (n - 1))) = \frac{n}{2} (6 + 2 n - 2) = \frac{2 n ^{2} + 4 n}{2}$ .
Прирівнюємо відстані: $\frac{3 n ^{2} + 2 n}{2} = \frac{2 n ^{2} + 4 n}{2}$ .
Скорочуємо на $n$ (оскільки $n \neq = 0$ ): $3 n + 2 = 2 n + 4$ .
Знаходимо $n$ : $3 n - 2 n = 4 - 2 \Rightarrow n = 2$ .

Відповідь:

Через 2 дні.

Завдання 1326

Перевірка геометричної прогресії

Дано послідовність $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ — геометрична прогресія з коефіцієнтом $q$ . Потрібно визначити, чи є геометричними прогресіями нові послідовності: а) $5 b_{1}, 5 b_{2}, \dots$ ; б) $b_{1} + 5, b_{2} + 5, \dots$ ; в) $\frac{5}{b _{1}}, \frac{5}{b _{2}}, \dots$ ; г) $\frac{5}{b _{1}}, \frac{5}{b _{2}}, \dots$ .

Розв’язання

а) $\frac{5 b _{n + 1}}{5 b _{n}} = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ . Відношення не змінилося — це геометрична прогресія з тим самим $q$ .
б) $\frac{b _{n + 1} + 5}{b _{n} + 5} \neq = const$ (загалом). Це не геометрична прогресія.
в) $\frac{\frac{5}{b _{n + 1}}}{\frac{5}{b _{n}}} = \frac{b _{n}}{b _{n + 1}} = \frac{1}{q}$ . Відношення стало, це геометрична прогресія з коефіцієнтом $\frac{1}{q}$ .
г) Оскільки в умові запитання (г) дублюється варіант (в), розглядаємо його як такий самий: це геометрична прогресія з коефіцієнтом $\frac{1}{q}$ .

Відповідь:

а) Так; б) Ні; в) Так; г) Так.