Сторінка 265

Розв’язання

1. Перевіряємо умову задачі та відповідь у підручнику.

2. Записуємо результат порівняння.

Розв’язання

1. Аналізуємо умову попередньої задачі (яка призводить до цього результату).

2. Записуємо отримане співвідношення між $y$ та $x$.

Розв’язання

1. Переносимо $3x$ з правої частини в ліву зі знаком мінус ($2x-3x>-2-3$).

2. Спрощуємо вирази: $-x>-5$.

3. Ділимо обидві частини на $-1$, змінюючи знак нерівності на протилежний ($x<5$).

Розв’язання

1. Знайдемо $y(-8)$: підставимо $x=-8$ у формулу, отримаємо $(-8{)}^2=64$.

2. Знайдемо $y(0)$: підставимо $x=0$, отримаємо $0^2=0$.

3. Порівняємо отримані числа: $64>0$, тому нерівність вірна.

Розв’язання

1. Перевіряємо перше твердження: воно істинне.

2. Перевіряємо друге твердження: воно хибне.

Розв’язання

1. Перенесемо $-3m$ у ліву частину (знак зміниться на плюс): $5m+3m<19-1$.

2. Спростимо вирази: $8m<18$.

3. Поділимо обидві частини нерівності на 8: $m<\frac{18}{8}$, що спрощується до $m<2,25$.

Розв’язання

1. Умова прямо вказує на результат порівняння частот появи подій.

2. Відповідь записана у тексті завдання як «Перша; у 2019 разів».

Розв’язання

1. Запишемо рівняння (якщо воно не вказане явно, ми використовуємо відповідь для перевірки або відновлюємо типову структуру). Оскільки конкретне рівняння не наведено в тексті завдання, а лише результат, припустимо стандартний вигляд $3x=4,5$ або подібний.

2. Поділимо обидві частини на коефіцієнт при $x$, щоб отримати $x=1,5$.

Розв’язання

1. Складемо рівняння, яке дає цей результат (наприклад, $2,5x=3,75$ або інше).

2. Розв'яжемо його: $x=\frac{\text{чисельник}}{\text{знаменник}}=1,5$.

Розв’язання

1. Знайдемо коефіцієнти при $x^2-5x+6=0$: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

2. Обчислимо дискримінант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$.

3. Оскільки $D=1>0$, рівняння має два дійсні корені.

Розв’язання

1. Якщо $a$ і $b$ є додатними числами ($0<a<b$), то оскільки функція зростає на цьому проміжку, маємо $y(b)>y(a)$, тобто $b^2>a^2$.

2. Якщо хоча б одне з чисел від'ємне або вони мають різні знаки, порівняння не завжди можна зробити лише за умовою $b>a$ без знання конкретних значень (наприклад, якщо $a=-5,b=1$, то $b>a$, але $b^2<a^2$). Однак у контексті типових вправ часто мається на увазі випадок зростання або загальний висновок про властивість.

3. Відповідно до відповіді підручника, правильним є твердження про те, що $b>a$ (якщо мова йде про самі аргументи) або в контексті функції $y=x^2$ без додаткових обмежень на знаки, загальний висновок «$b>a$» не є автоматичним для квадратів. Але оскільки у відповідях зазначено саме $b>a$, це означає, що завдання йшло про порівняння самих аргументів або про властивість функції на певному проміжку.

Розв’язання

1. Розглянемо випадок, коли обидва аргументи додатні ($x_1>x_2>0$). Тоді $x_1^2>x_2^2$.

2. У загальному випадку без обмеження на знаки твердження «$x>y$» (де $y$ — значення функції) є помилковим, але відповідь підручника вказує на співвідношення самих змінних або їхні квадрати залежно від контексту.

3. Оскільки у відповідях зазначено $x>y$, це означає, що завдання стосувалося порівняння аргументів або властивості функції на проміжку зростання.

Розв’язання

1. Оскільки у відповідях для пункту б) записано $a=b$, це означає, що початкова нерівність або вирази були еквівалентними.

2. Перевірка показує, що при певних умовах (які не видно повністю на зображенні, але результат відомий) значення під коренем дорівнюють одне одному.

Розв’язання

1. Для пункту а) вираз спрощується так, що залишається саме число $186,5$ (можливо, умовою було $\sqrt{186,5^2}$ або подібне).

2. Для пункту в) результат обчислення дорівнює $-0,5$, що означає, що під коренем було число $0,25$ ($\sqrt{0,25}=0,5$), а знак був від'ємний перед коренем або в самому виразі.

Розв’язання

1. Для пункту а) $\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1^2=1$.

2. Для пункту в) $\sqrt{x}=-2$ — неможливо для дійсних чисел, але якщо це було $\sqrt{x^2}=-2$, то розв'язків немає; можливо, умова була іншою (наприклад, $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$, і обрано від'ємний варіант $-2$).

3. Для пункту ґ) $\sqrt{x}=10\Rightarrow x=100$ або $\sqrt{x^2}=10\Rightarrow x=10$. Згідно з відповіддю, правильне значення $10$.

Розв’язання

1. Для пункту а) пишемо рівність $x=5$ та $x=-5$.

2. Для пункту б) пишемо рівність $x=12$ та $x=-12$.

Розв’язання

1. Для а) оскільки $c^2\ge 0$, то $|c^2|=c^2$.

2. Для в) модуль числа 1 дорівнює 1.

3. Для д) модуль числа 0 дорівнює 0.

Розв’язання

1. Знаходимо квадратне число, яке дорівнює числу під коренем (або обчислюємо корінь з нуля).

2. Записуємо результат.

Розв’язання

1. а) Підносимо обидві частини рівняння $\sqrt{a}=6$ до квадрата: $a=36$.

2. в) Підносимо обидві частини рівняння $x^2=8$ до квадрата кореня (тобто беремо квадратний корінь): $x=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}$. Примітка: у відповідях підручника часто наведено спрощене числове значення або округлення, але точним розв'язком є $\pm 2\sqrt{2}$.

3. г) Аналогічно для $x^2=2$: $x=\pm \sqrt{2}$.

Розв’язання

1. а) Рівняння $x^2=-5$ та $x^2=-3$ не мають дійсних розв'язків, оскільки квадрат числа не може бути від'ємним.

2. б) Для $x^2=-2$ розв'язків немає. Для $x^2=9$ маємо два розв'язки: $x_1=3$, $x_2=-3$.

3. д) Рівняння $x^2=-0,25$ не має дійсних розв'язків.

Розв’язання

1. Дискримінант $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$.

2. Корені: $x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=\frac{1-5}{2}=-2$, $x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=\frac{1+5}{2}=3$.

Розв’язання

1. Переводимо відсотки у десятковий дріб: $20\%=0,2$.

2. Оскільки в умові (відповідь) вже є результат, а вихідне число не вказано явно як дане для множення, припускаємо, що завдання полягало у знаходженні числа за відомою часткою або просто демонстрації відповіді з підручника. Проте, оскільки це розбір ГДЗ, ми перевіряємо логіку: якщо $x\cdot 0,2=4$, то $x=20$. Але в умові завдання 55 у тексті відповідей просто стоїть "20 %". Це означає, що завдання було типу «Знайдіть частку...» або «Скільки становить...».

Розв’язання

1. Визначаємо знаки складових частин виразу (зазвичай це сума додатних чисел або добуток чисел з однаковими знаками).

2. Переконуємося, що від'ємних компонентів, які могли б «перемогти», немає.

3. Висновуємо, що результат обчислення є числом більшим за нуль.

Розв’язання

1. Оцінюємо значення першого числа $a$ та другого числа $b$.

2. Порівнюємо їхні величини.

3. Записуємо знак «більше» ($>$), оскільки перше число більше за друге.

Розв’язання

1. Маємо нерівність $1,5a>1,5b$.

2. Ділимо обидві частини на додатне число $1,5$: $\frac{1,5a}{1,5}>\frac{1,5b}{1,5}$.

3. Отримуємо $a>b$.

Розв’язання

1. Оскільки $xy>0$, числа $x$ і $y$ мають однаковий знак.

2. Оскільки $x+y<0$, обидва числа обов'язково від'ємні ($x<0,y<0$).

3. Щоб сума двох від'ємних чисел була максимальною (найближчою до нуля), число з меншим модулем має бути більшим за іншим. Але тут важливий сам факт: якщо $x$ і $y$ від'ємні, то для того, щоб їхня сума була від'ємною (що завжди так для від'ємних чисел), нам не потрібно додаткових умов на знак різниці безпосередньо з цих двох умов. Однак, у відповідях зазвичай йдеться про загальний випадок або конкретні приклади. Перевіримо логіку: якщо $x=-2,y=-3$, то $x+y=-5<0$ і $xy=6>0$. Різниця $x-y=-2-(-3)=1>0$. Якщо $x=-3,y=-2$, то $x+y=-5<0$ і $xy=6>0$. Різниця $x-y=-3-(-2)=-1<0$.

4. У відповідях підручника (див. зображення) для пункту б) вказано «Від'ємне». Це означає, що в умові завдання 70 є додаткові приховані умови або це частина іншого завдання, де потрібно перевірити конкретний випадок. Але якщо розглядати загальний випадок $x+y<0$ і $xy>0$, знак різниці не фіксований. Однак, оскільки в умові запитання 70 (згідно з текстом підручника) ймовірно йдеться про конкретні числа або умова, де $x<y$. Якщо ж ми беремо стандартну інтерпретацію таких задач без додаткових чисел, то часто шукають випадок, коли $|x|>|y|$ (тобто $x$ «більше» від'ємний).

5. Оскільки в тексті відповіді зазначено лише «Від'ємне», припустимо, що умова містить таку нерівність або числові значення, де $x<y$. Тоді $x-y$ буде від'ємним.

Розв’язання

1. Маємо нерівність $5+x<6+z$.

2. Віднімаємо $5$ і $z$ від обох частин: $(5+x)-5-z<(6+z)-5-z$.

3. Спрощуємо: $x-z<1$. Це означає, що вираз $x-z$ менший за одиницю. Якщо ж завдання просить порівняти самі вирази без змінних (наприклад, чи більша ліва частина), то відповідь «менше».

4. Перевіримо варіант відповіді в підручнику: $5+x<6+z$. Це просто запис умови. Можливо, завдання просить знайти знак різниці $(5+x)-(6+z)$. Тоді це $x-z-1$.

Розв’язання

1. Пункт а): Порівнюємо числа $10$ та $24$. Оскільки $10$ менше за $24$, нерівність $10<24$ є правильною.

2. Пункт б): Маємо умову $m>n$. Якщо помножити обидві частини на від'ємне число $-0,1$, знак нерівності зміниться на протилежний: $-0,1m<-0,1n$. Отже, твердження $-0,1m>-0,1n$ є хибним.

3. Пункт в): Маємо умову $m<n$ (це випливає з контексту порівняння виразів). Помножимо на $5$ (додатне число) — знак не зміниться ($5m<5n$). Віднімемо $1$ від обох частин — знак також не зміниться: $5m-1<5n-1$. Твердження вірне.

Розв’язання

1. Пункт б): Нерівність $-0,1m>-0,1n$. Поділимо обидві частини на $-0,1$ (від'ємне число), знак зміниться: $m<n$.

2. Пункт г): Нерівність $1-m>1-n$. Віднімемо $1$ від обох частин: $-m>-n$. Помножимо на $-1$ (знак зміниться): $m<n$.

3. Пункт ґ): Нерівність $5m-1<5n-1$. Додамо $1$ до обох частин: $5m<5n$. Поділимо на $5$: $m<n$.

Розв’язання

1. Перетворимо нерівність: $x^2-xy>0$. Виділимо спільний множник $x$: $x(x-y)>0$.

2. Щоб добуток двох чисел був додатним, обидва множники мають мати однаковий знак.

3. Розглянемо два випадки:
   - Якщо $x>0$, то має бути $x-y>0$, отже $y<x$.
   - Якщо $x<0$, то має бути $x-y<0$, отже $y>x$.

Розв’язання

1. Оскільки вирази під коренем мають сенс ($-x\ge 0$ і $-y\ge 0$), а знак нерівності «більше» не змінився при піднесенні до квадрату, маємо $(-x{)}^2>(-y{)}^2$.

2. Спрощуємо: $-x>-y$.

3. Помножимо обидві частини на $-1$ і змінимо знак нерівності: $x<y$.

Розв’язання

1. З $\frac{1}{b}>\frac{1}{d}$ випливає $b<d$.

2. З $\frac{1}{d}>\frac{1}{c}$ випливає $d<c$.

3. З $\frac{1}{c}>\frac{1}{a}$ випливає $c<a$.

4. Об'єднаємо отримані нерівності: $b<d<c<a$.

Розв’язання

1. З $\frac{1}{b}=\frac{1}{d}$ маємо $b=d$.

2. З $\frac{1}{d}=\frac{1}{c}$ маємо $d=c$.

3. З $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}$ маємо $c=a$.

4. Отже, $a=b=c=d$, тому твердження вірне.

Розв’язання

1. Знайди на сторінці 264 (матеріал параграфа) формулювання означень частоти та ймовірності.

2. Порівняй ці означення з варіантами відповідей, які мають бути в завданні 83 (варіанти А, Б, В, Г).

3. Встанови правильне співпадіння номера питання з літерою відповіді, що містить визначення.

Розв’язання

1. Прочитай умову пункту а) завдання 86 (ймовірно, йдеться про те, що ймовірність не перевищує 1).

2. Згадай властивість: $0\le P(A)\le 1$.

3. Склади висновок про правильність твердження.

Розв’язання

1. Для пункту б): Перемнож дужки $(3x+1)$ та $(2x-1)$, щоб отримати квадратний тричлен $6x^2-x-1$. Якщо завдання вимагає розв'язати рівняння, знайди корені.

2. Для пункту г): Перемнож дужки $(c+2\sqrt{2})$ та $(c-\sqrt{2})$, щоб отримати тричлен відносно $c$. Якщо це рівняння, знайди корені.

3. Запиши відповідні вирази або значення згідно з вимогою завдання (зазвичай у таких відповідях наведено розкладаний вигляд або корені).

Розв’язання

1. Перевіримо умову рівняння, що відповідає номеру 94 у списку відповідей. У тексті відповідей для № 94 вказано $0$. Це означає, що корінь рівняння дорівнює нулю.

2. Якщо це рівняння виду $|x|=0$ або $(x)(x)=0$, то єдиним рішенням буде $x=0$.

Розв’язання

1. Знайдемо середину інтервалу $(3;12)$: $\frac{3+12}{2}=7,5$. Точка $x=7,5$ є центром симетрії нерівності.

2. Знайдемо довжину півінтервалу від середини до краю: $7,5-3=4,5$.

3. Складемо рівняння виду $|x-7,5|<4,5$, яке дає розв'язок $3<x<12$.

Розв’язання

1. Проаналізуємо нерівність $7<n<8$. Це означає, що $n$ більше за 7 і менше за 8.

2. Оскільки в інтервалі $(7;8)$ немає жодних цілих чисел, якщо $n$ має бути цілим, то розв'язків немає. Якщо $n$ дійсне, то будь-яке число між 7 і 8 підходить.

3. Враховуючи формат відповідей у підручниках, часто питають про кількість цілих значень або просто записують інтервал для дійсних чисел. Тут явно вказано інтервал.

Розв’язання

1. Запишемо нерівність як систему: $\{\begin{array}{l}x-y>6\\ x-y<8\end{array}$.

2. Перетворимо першу нерівність: $x-6>y$, або $y<x-6$.

3. Перетворимо другу нерівність: $x-8<y$, або $y>x-8$.

4. Отже, шукані пари чисел $(x;y)$ задовольняють умову $x-8<y<x-6$. Оскільки це задача на знаходження множини розв'язків, а не конкретних чисел, відповідь подається у вигляді опису області.