ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 263

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1303–1318 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1303

Побудова графіків квадратних тричленів

Дано чотири функції, потрібно записати їх рівняння та описати властивості для побудови графіка (параболи):
а) $y = 3 x^{2} + 3 x - 1$ ;
б) $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ;
в) $y = - x^{2} + x - 3$ ;
г) $y = - 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Розв’язання

Для пункту а) ( $y = 3 x^{2} + 3 x - 1$ ): точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 1)$ , вершина $x_{v} = - \frac{3}{6} = - 0, 5$ , $y_{v} = 3 (- 0, 5)^{2} + 3 (- 0, 5) - 1 = - 1, 75$ . Графік розкривається вгору.
Для пункту б) ( $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ): точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 5)$ , вершина $x_{v} = \frac{4}{4} = 1$ , $y_{v} = 2 (1)^{2} - 4 (1) + 5 = 3$ . Графік розкривається вгору.
Для пункту в) ( $y = - x^{2} + x - 3$ ): точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 3)$ , вершина $x_{v} = - \frac{1}{- 2} = 0, 5$ , $y_{v} = - (0, 5)^{2} + 0, 5 - 3 = - 2, 75$ . Графік розкривається вниз.
Для пункту г) ( $y = - 2 x^{2} + 3 x + 2$ ): точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 2)$ , вершина $x_{v} = - \frac{3}{- 4} = 0, 75$ , $y_{v} = - 2 (0, 75)^{2} + 3 (0, 75) + 2 = 2, 4375$ . Графік розкривається вниз.

Відповідь:

а) Парабола з вершиною $(- 0, 5; - 1, 75)$ , проходить через $(0; - 1)$ , розкривається вгору. б) Парабола з вершиною $(1; 3)$ , проходить через $(0; 5)$ , розкривається вгору. в) Парабола з вершиною $(0, 5; - 2, 75)$ , проходить через $(0; - 3)$ , розкривається вниз. г) Парабола з вершиною $(0, 75; 2, 4375)$ , проходить через $(0; 2)$ , розкривається вниз.

Завдання 1304

Розв'язання квадратних нерівностей

а) $x^{2} + 2 x > 0$ ;
б) $x^{2} - x \geq 0$ .

Розв’язання

а) $x (x + 2) > 0$ . Корені рівняння $x^{2} + 2 x = 0$ це $x_{1} = - 2$ та $x_{2} = 0$ . Оскільки множник при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується за межами коренів: $x < - 2$ або $x > 0$ .
б) $x (x - 1) \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - x = 0$ це $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 1$ . Оскільки знак "більше або дорівнює", корені входять до розв'язку. Нерівність виконується за межами відрізку: $x \leq 0$ або $x \geq 1$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)$ .

Завдання 1305

Розв'язання квадратних нерівностей з розкладанням на множники

Розв'язати дві нерівності:
а) $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ;
б) $x^{2} + 5 x + 6 < 0$ .

Розв’язання

Для пункту а) ( $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ): розкладаємо на $(x - 1) (x - 2) > 0$ . Корені $1$ і $2$ . Тричлен додатний за межами коренів. Розв'язок: $x < 1$ або $x > 2$ .
Для пункту б) ( $x^{2} + 5 x + 6 < 0$ ): розкладаємо на $(x + 2) (x + 3) < 0$ . Корені $- 3$ і $- 2$ . Тричлен від'ємний між коренями. Розв'язок: $- 3 < x < - 2$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ ; б) $x \in (- 3; - 2)$ .

Завдання 1306

Розв'язання квадратної нерівності

а) $3 x^{2} - x - 4 \geq 0$ ;
б) $5 x^{2} - 2 x - 3 > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): Дискримінант $Δ_{1} = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 1 + 48 = 49$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 7}{6}$ , отже $x_{1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ , $x_{2} = \frac{- 6}{6} = - 1$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $3 > 0$ ), то двочлен додатний поза відрізком між коренями. Відповідь: $x < - 1$ або $x \geq \frac{4}{3}$ .
Для пункту б): Дискримінант $Δ_{2} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 4 + 60 = 64$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 8}{10}$ , отже $x_{1} = \frac{10}{10} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 6}{10} = - \frac{3}{5}$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $5 > 0$ ), то двочлен додатний поза відрізком між коренями. Відповідь: $x < - \frac{3}{5}$ або $x > 1$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 1) \cup [\frac{4}{3}; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - \frac{3}{5}) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 1307

Розв'язання квадратних нерівностей

а) $- x^{2} + 2 x - 1 < 0$ ;
б) $- x^{2} - 2 x - 5 > 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ . Перетворимо ліву частину на повний квадрат: $(x - 1)^{2} > 0$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, а нам потрібні випадки, коли він строго додатний, то $x \neq = 1$ .
б) Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ і змінимо знак: $x^{2} + 2 x + 5 < 0$ . Знайдемо дискримінант рівняння $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ : $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$ . Оскільки $D < 0$ , коренів немає, і парабола повністю лежить над віссю $O x$ (оскільки старший коефіцієнт $+ 1 > 0$ ). Тобто $x^{2} + 2 x + 5 > 0$ для всіх $x$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ (або $x \neq = 1$ ); б) розв'язків немає ( $\emptyset$ ).

Завдання 1308

Розв'язання квадратних нерівностей через корені

а) $(x - 3) (x + 5) > 0$ ;
б) $(x + 2) (x + 7) < 0$ .

Розв’язання

Для пункту а) знайдемо корені рівняння $(x - 3) (x + 5) = 0$ . Отримаємо $x_{1} = 3$ та $x_{2} = - 5$ . Оскільки знак нерівності «більше нуля», розв'язок — це обидва проміжки зовні коренів: $x < - 5$ або $x > 3$ .
Для пункту б) знайдемо корені рівняння $(x + 2) (x + 7) = 0$ . Отримаємо $x_{1} = - 2$ та $x_{2} = - 7$ . Оскільки знак нерівності «менше нуля», розв'язок — це проміжок між меншим і більшим коренем: $- 7 < x < - 2$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$ ; б) $(- 7; - 2)$ .

Завдання 1309

Розв'язання нерівностей з дужками

а) $(2 x + 1) (x + 1) > 0$ ;
б) $(3 x - 2) (2 x + 3) \geq 0$ .

Розв’язання

а) Розкрий дужки або перевір знаки множників. Корені рівняння $(2 x + 1) (x + 1) = 0$ : $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ . Оскільки знак $> 0$ , розв'язок — це сума двох проміжків: $x < - 1$ або $x > - 0, 5$ .
б) Корені рівняння $(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$ : $x_{1} = \frac{2}{3}$ , $x_{2} = - 1, 5$ . Оскільки знак $\geq 0$ , розв'язок — це сума проміжків із включенням коренів: $x \leq - 1, 5$ або $x \geq \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - 1, 5] \cup [\frac{2}{3}; + \infty)$ .

Завдання 1310

Розв'язання нерівностей з переставленими множниками

а) $(x - 1) (2 - x) > 0$ ;
б) $(3 + x) (x + 7) < 0$ .

Розв’язання

а) Рівняння $(x - 1) (2 - x) = 0$ має корені $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ . Оскільки множник $(2 - x)$ містить мінус, нерівність $(x - 1) (- (x - 2)) > 0$ еквівалентна $- (x - 1) (x - 2) > 0$ , тобто $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Розв'язок — проміжок між коренями: $1 < x < 2$ .
б) Корені рівняння $(3 + x) (x + 7) = 0$ : $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 7$ . Оскільки знак $< 0$ , розв'язок — проміжок між коренями: $- 7 < x < - 3$ .

Відповідь:

а) $x \in (1; 2)$ ; б) $x \in (- 7; - 3)$ .

Завдання 1311

Розв'язання раціональних нерівностей

а) $\frac{x + 3}{x - 7} > 0$ ;
б) $\frac{x}{x + 2} > 0$ ;
в) $\frac{2 + x}{x + 3} < 0$ ;
г) $\frac{3 - x}{x} < 0$ .

Розв’язання

а) Нулі: чисельник при $x = - 3$ , знаменник при $x = 7$ . Знак $> 0$ означає, що $x$ має бути або менше $- 3$ , або більше $7$ . Відповідь: $x < - 3$ або $x > 7$ .
б) Нулі: чисельник при $x = 0$ , знаменник при $x = - 2$ . Знак $> 0$ : $x < - 2$ або $x > 0$ .
в) Нулі: чисельник при $x = - 2$ , знаменник при $x = - 3$ . Знак $< 0$ : проміжок між коренями, де функція від'ємна. Оскільки $- 2 > - 3$ , то $- 3 < x < - 2$ .
г) Нулі: чисельник при $x = 3$ , знаменник при $x = 0$ . Знак $< 0$ : проміжок між коренями, де функція від'ємна. Оскільки $3 > 0$ , то $0 < x < 3$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ ; в) $x \in (- 3; - 2)$ ; г) $x \in (0; 3)$ .

Завдання 1312

Побудова числових послідовностей за формулою

Для кожної підпункту (а–д) знайти перші п'ять членів послідовності, підставивши в задану формулу $n = 1, 2, 3, 4, 5$ .

Розв’язання

Підпункт а) ( $a_{n} = 2 (n + 1)$ ):
- $n = 1 \Rightarrow a_{1} = 2 (1 + 1) = 4$
- $n = 2 \Rightarrow a_{2} = 2 (2 + 1) = 6$
- $n = 3 \Rightarrow a_{3} = 2 (3 + 1) = 8$
- $n = 4 \Rightarrow a_{4} = 2 (4 + 1) = 10$
- $n = 5 \Rightarrow a_{5} = 2 (5 + 1) = 12$

Відповідь:

$4, 6, 8, 10, 12$ .

2. Підпункт б) ( $x_{n} = 6 : n$ ):
- $n = 1 \Rightarrow x_{1} = 6/1 = 6$
- $n = 2 \Rightarrow x_{2} = 6/2 = 3$
- $n = 3 \Rightarrow x_{3} = 6/3 = 2$
- $n = 4 \Rightarrow x_{4} = 6/4 = 1, 5$
- $n = 5 \Rightarrow x_{5} = 6/5 = 1, 2$

Завдання 1313

Знаходження конкретних членів послідовності

Послідовність задана формулою $a_{n} = 2 n^{2} + 3$ . Потрібно знайти значення для $n = 3, 6, 15$ та $100$ .

Розв’язання

Підпункт а) Знайти $a_{3}$ :
Підставляємо $n = 3$ : $a_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 3 = 2 \cdot 9 + 3 = 18 + 3 = 21$ .
Підпункт б) Знайти $a_{6}$ :
Підставляємо $n = 6$ : $a_{6} = 2 \cdot 6^{2} + 3 = 2 \cdot 36 + 3 = 72 + 3 = 75$ .
Підпункт в) Знайти $a_{15}$ :
Підставляємо $n = 15$ : $a_{15} = 2 \cdot 1 5^{2} + 3 = 2 \cdot 225 + 3 = 450 + 3 = 453$ .
Підпункт г) Знайти $a_{100}$ :
Підставляємо $n = 100$ : $a_{100} = 2 \cdot 10 0^{2} + 3 = 2 \cdot 10000 + 3 = 20000 + 3 = 20003$ .

Відповідь:

а) $a_{3} = 21$ ; б) $a_{6} = 75$ ; в) $a_{15} = 453$ ; г) $a_{100} = 20003$ .

Завдання 1314

Знаходження членів послідовності за номерами

Для трьох підпунктів знайти сьомий ( $n = 7$ ), десятий ( $n = 10$ ) та двадцять п'ятий ( $n = 25$ ) члени послідовностей.

Розв’язання

Підпункт а) ( $c_{n} = (1 - n)^{2}$ ):
- $n = 7 \Rightarrow c_{7} = (1 - 7)^{2} = (- 6)^{2} = 36$ .
- $n = 10 \Rightarrow c_{10} = (1 - 10)^{2} = (- 9)^{2} = 81$ .
- $n = 25 \Rightarrow c_{25} = (1 - 25)^{2} = (- 24)^{2} = 576$ .
Підпункт б) ( $c_{n} = 350 + n$ ):
- $n = 7 \Rightarrow c_{7} = 350 + 7 = 357$ .
- $n = 10 \Rightarrow c_{10} = 350 + 10 = 360$ .
- $n = 25 \Rightarrow c_{25} = 350 + 25 = 375$ .
Підпункт в) ( $c_{n} = 2 n - (- 1)^{n}$ ):
- $n = 7 \Rightarrow c_{7} = 2 \cdot 7 - (- 1)^{7} = 14 - (- 1) = 15$ .
- $n = 10 \Rightarrow c_{10} = 2 \cdot 10 - (- 1)^{10} = 20 - 1 = 19$ .
- $n = 25 \Rightarrow c_{25} = 2 \cdot 25 - (- 1)^{25} = 50 - (- 1) = 51$ .

Відповідь:

а) сьомий — 36, десятий — 81, двадцять п'ятий — 576; б) сьомий — 357, десятий — 360, двадцять п'ятий — 375; в) сьомий — 15, десятий — 19, двадцять п'ятий — 51.

Завдання 1315

Перші члени арифметичної прогресії

Знайти перші п'ять членів послідовності, якщо відомий перший член $a_{1}$ і різниця $d$ :
а) $a_{1} = 17$ , $d = 2$ ;
б) $a_{1} = 0, 5$ , $d = 10$ ;
в) $a_{1} = - \frac{1}{4}$ , $d = \frac{1}{4}$ ;
г) $a_{1} = 6$ , $d = 0$ .

Розв’язання

Пункт а): $a_{1} = 17$ . $a_{2} = 17 + 2 = 19$ . $a_{3} = 19 + 2 = 21$ . $a_{4} = 21 + 2 = 23$ . $a_{5} = 23 + 2 = 25$ .
Пункт б): $a_{1} = 0, 5$ . $a_{2} = 0, 5 + 10 = 10, 5$ . $a_{3} = 10, 5 + 10 = 20, 5$ . $a_{4} = 20, 5 + 10 = 30, 5$ . $a_{5} = 30, 5 + 10 = 40, 5$ .
Пункт в): $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ; $a_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$ ; $a_{3} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ; $a_{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ; $a_{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Пункт г): $a_{1} = 6$ , $d = 0$ . Оскільки різниця дорівнює нулю, всі члени прогресії однакові: $6, 6, 6, 6, 6$ .

Відповідь:

а) $17; 19; 21; 23; 25$ ; б) $0, 5; 10, 5; 20, 5; 30, 5; 40, 5$ ; в) $- \frac{1}{4}; 0; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}$ ; г) $6; 6; 6; 6; 6$ .

Завдання 1316

Сума членів арифметичної прогресії

Знайти суму $S_{n}$ перших $n$ членів арифметичної прогресії за формулою $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ або $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$ , якщо відомі:
а) $a_{1} = 5$ , $d = 3$ , $n = 31$ ;
б) $a_{1} = 14, 5$ , $d = 0, 7$ , $n = 26$ ;
в) $a_{1} = - \frac{3}{2}$ , $d = \frac{1}{2}$ , $n = 35$ ;
г) $a_{1} = 111$ , $d = - \frac{2}{5}$ , $n = 56$ .

Розв’язання

Пункт а): Знайдемо $a_{31} = 5 + (31 - 1) \cdot 3 = 5 + 90 = 95$ . Сума $S_{31} = \frac{31 \cdot ( 5 + 95 )}{2} = \frac{31 \cdot 100}{2} = 31 \cdot 50 = 1550$ .
Пункт б): Знайдемо $a_{26} = 14, 5 + (26 - 1) \cdot 0, 7 = 14, 5 + 25 \cdot 0, 7 = 14, 5 + 17, 5 = 32$ . Сума $S_{26} = \frac{26 \cdot ( 14 , 5 + 32 )}{2} = 13 \cdot 46, 5 = 604, 5$ .
Пункт в): Знайдемо $a_{35} = - \frac{3}{2} + (35 - 1) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{34}{2} = \frac{31}{2}$ . Сума $S_{35} = \frac{35 \cdot ( - \frac{3}{2} + \frac{31}{2} )}{2} = \frac{35 \cdot \frac{28}{2}}{2} = \frac{35 \cdot 14}{2} = 35 \cdot 7 = 245$ .
Пункт г): Знайдемо $a_{56} = 111 + (56 - 1) \cdot (- \frac{2}{5}) = 111 + 55 \cdot (- 0, 4) = 111 - 22 = 89$ . Сума $S_{56} = \frac{56 \cdot ( 111 + 89 )}{2} = \frac{56 \cdot 200}{2} = 56 \cdot 100 = 5600$ .

Відповідь:

а) $1550$ ; б) $604, 5$ ; в) $245$ ; г) $5600$ .

Завдання 1317

Кількість членів прогресії за сумами

Сума чотирьох перших членів арифметичної прогресії дорівнює $56$ , сума чотирьох останніх — $112$ . Перший член прогресії $a_{1} = 11$ . Знайти кількість членів прогресії $n$ .

Розв’язання

Знайдемо четвертий член $a_{4}$ . Сума перших 4 членів: $\frac{4 ( a _{1} + a _{4} )}{2} = 56 \Rightarrow 2 (11 + a_{4}) = 56 \Rightarrow 11 + a_{4} = 28 \Rightarrow a_{4} = 17$ .
Знайдемо різницю $d$ прогресії: $a_{4} = a_{1} + 3 d \Rightarrow 17 = 11 + 3 d \Rightarrow 3 d = 6 \Rightarrow d = 2$ .
Сума чотирьох останніх членів (від $a_{n - 3}$ до $a_{n}$ ) дорівнює $\frac{4 ( a _{n - 3} + a _{n} )}{2} = 112 \Rightarrow 2 (a_{n - 3} + a_{n}) = 112 \Rightarrow a_{n - 3} + a_{n} = 56$ .
Виразимо ці члени через $a_{1}$ і $d$ : $a_{n - 3} = a_{1} + (n - 4) d$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Підставимо: $(11 + (n - 4) \cdot 2) + (11 + (n - 1) \cdot 2) = 56$ .
Розкриємо дужки: $11 + 2 n - 8 + 11 + 2 n - 2 = 56 \Rightarrow 4 n + 12 = 56 \Rightarrow 4 n = 44 \Rightarrow n = 11$ .

Відповідь:

$11$ членів.

Завдання 1318

Арифметична прогресія, сума членів

Сума першого ( $a_{1}$ ) і п'ятого ( $a_{5}$ ) членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює 14. Добуток другого ( $a_{2}$ ) її члена на четвертий ( $a_{4}$ ) дорівнює 45. Потрібно знайти кількість членів $n$ , при якій сума перших $n$ членів дорівнює 24.

Розв’язання

За умовою $a_{1} + a_{5} = 14$ . Оскільки в арифметичній прогресії сума членів, симетричних відносно середини, однакова, то $a_{1} + a_{n} = a_{1} + a_{5}$ (якщо $n = 5$ , що неможливо для зростаючої прогресії з додатною сумою 24 при таких початкових даних, але перевіримо логіку).
Насправді, використаємо властивість: $a_{1} + a_{n} = a_{k} + a_{n - k + 1}$ . Тут ми маємо $a_{1}$ і $a_{5}$ . Якщо сума перших $n$ членів дорівнює 24, то $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = 24 \Rightarrow n (a_{1} + a_{n}) = 48$ .
Також маємо $a_{2} \cdot a_{4} = 45$ . Запишемо через $a_{1}$ і $d$ : $(a_{1} + d) (a_{1} + 3 d) = 45$ .
Також $a_{1} + a_{5} = a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 4 d = 14 \Rightarrow a_{1} + 2 d = 7 \Rightarrow d = \frac{7 - a _{1}}{2}$ .
Підставимо $d$ у рівняння добутку: $(a_{1} + \frac{7 - a _{1}}{2}) (a_{1} + 3 \cdot \frac{7 - a _{1}}{2}) = 45$ .
Спростимо перший множник: $\frac{2 a _{1} + 7 - a _{1}}{2} = \frac{a _{1} + 7}{2}$ .
Спростимо другий множник: $\frac{2 a _{1} + 21 - 3 a _{1}}{2} = \frac{21 - a _{1}}{2}$ .
Добуток: $\frac{( a _{1} + 7 ) ( 21 - a _{1} )}{4} = 45 \Rightarrow (a_{1} + 7) (21 - a_{1}) = 180$ .
Розкриємо дужки: $- a_{1}^{2} + 14 a_{1} + 147 = 180 \Rightarrow a_{1}^{2} - 14 a_{1} + 33 = 0$ .
Корені: $D = 196 - 132 = 64$ , $D = 8$ . $a_{1} = \frac{14 \pm 8}{2}$ . Отримуємо $a_{1} = 11$ або $a_{1} = 3$ .
Якщо $a_{1} = 11$ , то $d = \frac{7 - 11}{2} = - 2$ (прогресія спадаюча, але в умові сказано "зростаюча", отже відкидаємо).
Якщо $a_{1} = 3$ , то $d = \frac{7 - 3}{2} = 2$ (прогресія зростаюча, підходить).
Тепер знайдемо $n$ . Сума $S_{n} = 24$ . Формула суми: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2} = n (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d)$ .
Підставимо $a_{1} = 3, d = 2$ : $24 = n (3 + \frac{n - 1}{2} \cdot 2) = n (3 + n - 1) = n (n + 2)$ .
Рівняння: $n^{2} + 2 n - 24 = 0$ .
Корені: $D = 4 - 4 \cdot (- 24) = 100$ , $D = 10$ . $n = \frac{- 2 \pm 10}{2}$ .
$n_{1} = 4$ , $n_{2} = - 6$ (не підходить, кількість членів має бути натуральною).
Перевірка: прогресія $3, 5, 7, 9$ . Сума $3 + 5 + 7 + 9 = 24$ . Кількість членів 4.

Відповідь: