ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 262

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1290–1302 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1290

Система лінійних нерівностей

а) ${5 x + 1 > 6 x - 18, 3 x - 7 < 5 x - 13;$
б) ${7 y + 3 > 8 y - 17, 3 y - 2 < 6 y - 12.$

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність системи а): $5 x + 1 > 6 x - 18 \Rightarrow 1 + 18 > 6 x - 5 x \Rightarrow x < 19$ .
Розв'язуємо другу нерівність системи а): $3 x - 7 < 5 x - 13 \Rightarrow - 7 + 13 < 5 x - 3 x \Rightarrow 6 < 2 x \Rightarrow x > 3$ .
Знаходимо спільну частину розв'язків: $3 < x < 19$ .
Розв'язуємо систему б): $7 y + 3 > 8 y - 17 \Rightarrow 3 + 17 > 8 y - 7 y \Rightarrow y < 20$ .
Друга нерівність системи б): $3 y - 2 < 6 y - 12 \Rightarrow - 2 + 12 < 6 y - 3 y \Rightarrow 10 < 3 y \Rightarrow y > \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .
Перетин розв'язків: $\frac{10}{3} < y < 20$ .

Відповідь:

а) $x \in (3; 19)$ ; б) $y \in (\frac{10}{3}; 20)$ .

Завдання 1291

Система нерівностей з дробами

а) ${1 + 2 x > \frac{9 x - 2}{4}, 7 + 2 x > 3 x - 1;$
б) ${\frac{2 - 6 x}{5} \geq 3 x + 13, 5 x - 8 \leq \frac{3 x + 2}{4} .$

Розв’язання

Система а):
- Перша нерівність: $4 (1 + 2 x) > 9 x - 2 \Rightarrow 4 + 8 x > 9 x - 2 \Rightarrow 4 + 2 > 9 x - 8 x \Rightarrow x < 6$ .
- Друга нерівність: $7 + 2 x > 3 x - 1 \Rightarrow 7 + 1 > 3 x - 2 x \Rightarrow x < 8$ .
- Перетин: $x < 6$ (оскільки це суворіше обмеження).
Система б):
- Перша нерівність: помножимо на 5: $2 - 6 x \geq 15 x + 65 \Rightarrow 2 - 65 \geq 15 x + 6 x \Rightarrow - 63 \geq 21 x \Rightarrow x \leq - 3$ .
- Друга нерівність: помножимо на 4: $20 x - 32 \leq 3 x + 2 \Rightarrow 20 x - 3 x \leq 2 + 32 \Rightarrow 17 x \leq 34 \Rightarrow x \leq 2$ .
- Перетин: $x \leq - 3$ (оскільки це суворіше обмеження).

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 6)$ ; б) $x \in (- \infty; - 3]$ .

Завдання 1292

Подвійні нерівності

а) $9 < 2 x + 3 < 17$ ;
б) $- 8 < 3 x - 2 < 25$ ;
в) $0 \leq 2 - x \leq 2$ ;
г) $- 8 \leq 3 - 11 x < 58$ .

Розв’язання

Нерівність а): віднімемо 3 від усіх членів: $9 - 3 < 2 x < 17 - 3 \Rightarrow 6 < 2 x < 14$ . Поділимо на 2: $3 < x < 7$ .
Нерівність б): віднімемо 2: $- 8 - 2 < 3 x < 25 - 2 \Rightarrow - 10 < 3 x < 23$ . Поділимо на 3: $- \frac{10}{3} < x < \frac{23}{3}$ (або $- 3 \frac{1}{3} < x < 7 \frac{2}{3}$ ).
Нерівність в): віднімемо 2: $0 - 2 \leq - x \leq 2 - 2 \Rightarrow - 2 \leq - x \leq 0$ . Помножимо на -1 (змінюємо знаки): $2 \geq x \geq 0$ , тобто $0 \leq x \leq 2$ .
Нерівність г): розбиваємо на дві нерівності:
- $3 - 11 x \geq - 8 \Rightarrow - 11 x \geq - 11 \Rightarrow x \leq 1$ .
- $3 - 11 x < 58 \Rightarrow - 11 x < 55 \Rightarrow x > - 5$ .
- Перетин: $- 5 < x \leq 1$ .

Відповідь:

а) $x \in (3; 7)$ ; б) $x \in (- \frac{10}{3}; \frac{23}{3})$ ; в) $x \in [0; 2]$ ; г) $x \in (- 5; 1]$ .

Завдання 1293

Обчислення значень функції

Знайти $f (- 2)$ ; $f (- 1)$ ; $f (0)$ ; $f (1)$ ; $f (2)$ для трьох випадків: а) $f (x) = 2 x^{2} + 3$ ; б) $f (x) = 3 x^{3} - 2$ ; в) $f (x) = x^{2} + 1$ .

Розв’язання

Для функції $f (x) = 2 x^{2} + 3$ :
$f (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{2} + 3 = 8 + 3 = 11$ ;
$f (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{2} + 3 = 2 + 3 = 5$ ;
$f (0) = 2 \cdot 0^{2} + 3 = 3$ ;
$f (1) = 2 \cdot 1^{2} + 3 = 5$ ;
$f (2) = 2 \cdot 2^{2} + 3 = 8 + 3 = 11$ .
Для функції $f (x) = 3 x^{3} - 2$ :
$f (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{3} - 2 = 3 \cdot (- 8) - 2 = - 24 - 2 = - 26$ ;
$f (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{3} - 2 = - 3 - 2 = - 5$ ;
$f (0) = 3 \cdot 0^{3} - 2 = - 2$ ;
$f (1) = 3 \cdot 1^{3} - 2 = 3 - 2 = 1$ ;
$f (2) = 3 \cdot 2^{3} - 2 = 24 - 2 = 22$ .
Для функції $f (x) = x^{2} + 1$ :
$f (- 2) = (- 2)^{2} + 1 = 5$ ;
$f (- 1) = (- 1)^{2} + 1 = 2$ ;
$f (0) = 0^{2} + 1 = 1$ ;
$f (1) = 1^{2} + 1 = 2$ ;
$f (2) = 2^{2} + 1 = 5$ .

Відповідь:

а) $11, 5, 3, 5, 11$ ; б) $- 26, - 5, - 2, 1, 22$ ; в) $5, 2, 1, 2, 5$ .

Завдання 1294

Заповнення таблиці функції

Функція задана формулою $y = \frac{6 x}{1 + x}$ на множині натуральних чисел першого десятка ( $x \in {1, 2, ..., 9}$ ). Потрібно записати відповідні значення $y$ у таблиці.

Розв’язання

Знаходимо значення $y$ для кожного $x$ :
При $x = 1$ : $y = \frac{6 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
При $x = 2$ : $y = \frac{6 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$ .
При $x = 3$ : $y = \frac{6 \cdot 3}{1 + 3} = \frac{18}{4} = 4, 5$ .
При $x = 4$ : $y = \frac{6 \cdot 4}{1 + 4} = \frac{24}{5} = 4, 8$ .
При $x = 5$ : $y = \frac{6 \cdot 5}{1 + 5} = \frac{30}{6} = 5$ .
При $x = 6$ : $y = \frac{6 \cdot 6}{1 + 6} = \frac{36}{7} \approx 5, 14$ .
При $x = 7$ : $y = \frac{6 \cdot 7}{1 + 7} = \frac{42}{8} = 5, 25$ .
При $x = 8$ : $y = \frac{6 \cdot 8}{1 + 8} = \frac{48}{9} = 5, 33$ .
При $x = 9$ : $y = \frac{6 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{54}{10} = 5, 4$ .

Відповідь:

Таблиця функції:
$x$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
$y$ : 3, 4, 4,5, 4,8, 5, 5,14, 5,25, 5,33, 5,4

Завдання 1295

Таблиця та графік функції

Функція задана формулою $y = 2 x + 5$ на множині $D = {- 4; - 2, 75; - 1; 1, 25; 4; 11}$ . Потрібно заповнити таблицю значень і описати побудову графіка.

Розв’язання

Заповнюємо таблицю:
При $x = - 4$ : $y = 2 - 4 + 5 = 21 = 2$ .
При $x = - 2, 75$ : $y = 2 - 2, 75 + 5 = 2 2, 25 = 2 \cdot 1, 5 = 3$ .
При $x = - 1$ : $y = 2 - 1 + 5 = 24 = 2 \cdot 2 = 4$ .
При $x = 1, 25$ : $y = 2 1, 25 + 5 = 2 6, 25 = 2 \cdot 2, 5 = 5$ .
При $x = 4$ : $y = 2 4 + 5 = 29 = 2 \cdot 3 = 6$ .
При $x = 11$ : $y = 2 11 + 5 = 216 = 2 \cdot 4 = 8$ .
Побудова графіка: На координатній площині відкладаємо точки $(- 4; 2)$ , $(- 2, 75; 3)$ , $(- 1; 4)$ , $(1, 25; 5)$ , $(4; 6)$ , $(11; 8)$ . Через ці точки проводимо плавну криву (гілку параболи).

Відповідь:

Таблиця: $(- 4; 2), (- 2, 75; 3), (- 1; 4), (1, 25; 5), (4; 6), (11; 8)$ . Графік — плавна крива, що проходить через ці точки.

Завдання 1296

Побудова графіка функції та знаходження області значень

Побудувати графік функції $y = x^{2} - 4$ для множини $D = {- 1; 0; 1; 2; 3}$ . Знайти область значень цієї функції.

Розв’язання

Підставимо $x = - 1$ у формулу: $y = (- 1)^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3$ . Точка $(- 1; - 3)$ .
Підставимо $x = 0$ : $y = 0^{2} - 4 = - 4$ . Точка $(0; - 4)$ .
Підставимо $x = 1$ : $y = 1^{2} - 4 = - 3$ . Точка $(1; - 3)$ .
Підставимо $x = 2$ : $y = 2^{2} - 4 = 0$ . Точка $(2; 0)$ .
Підставимо $x = 3$ : $y = 3^{2} - 4 = 5$ . Точка $(3; 5)$ .

Відповідь:

Область значень функції: ${- 4; - 3; 0; 5}$ . Графік складається з точок $(- 1; - 3), (0; - 4), (1; - 3), (2; 0), (3; 5)$ .

Завдання 1297

Знаходження області визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 5 x - 1$ ; б) $y = x + 1$ ; в) $y = 4 - x$ .

Розв’язання

а) Функція $y = 5 x - 1$ є лінійною, тому вона має зміст для будь-якого дійсного числа $x$ . Область визначення — множина всіх дійсних чисел ( $R$ ).
б) Для функції $y = x + 1$ підкореневий вираз має бути невід'ємним: $x + 1 \geq 0$ . Отже, $x \geq - 1$ . Область визначення — проміжок $[- 1; + \infty)$ .
в) Для функції $y = 4 - x$ підкореневий вираз має бути невід'ємним: $4 - x \geq 0$ . Отже, $x \leq 4$ . Область визначення — проміжок $(- \infty; 4]$ .

Відповідь:

а) $R$ (будь-яке дійсне число); б) $[- 1; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 4]$ .

Завдання 1298

Пошук мінімуму квадратичних функцій

При яких значеннях $x$ дана функція має найменше значення:
а) $y = x^{2} - 6 x + 9$ ;
б) $y = x^{2} + 4 x + 7$ ;
в) $y = 4 x^{2} - 12 x - 3$ ;
г) $y = 4 x^{2} - 4 x + 1$ .

Розв’язання

Для функції а) ( $y = x^{2} - 6 x + 9$ ): коефіцієнти $a = 1, b = - 6$ . Знаходимо $x = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Для функції б) ( $y = x^{2} + 4 x + 7$ ): коефіцієнти $a = 1, b = 4$ . Знаходимо $x = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ .
Для функції в) ( $y = 4 x^{2} - 12 x - 3$ ): коефіцієнти $a = 4, b = - 12$ . Знаходимо $x = - \frac{- 12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1, 5$ .
Для функції г) ( $y = 4 x^{2} - 4 x + 1$ ): коефіцієнти $a = 4, b = - 4$ . Знаходимо $x = - \frac{- 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0, 5$ .

Відповідь:

а) $3$ ; б) $- 2$ ; в) $1, 5$ ; г) $0, 5$ .

Завдання 1299

Знайди найбільше значення функції

а) $y = 3 - (x - 2)^{2}$ ; б) $y = - 0, 25 (x + 5)^{2}$ ; в) $y = 6 x - x^{2} - 10$ ; г) $y = - 5 x^{2} + 4 x + 1$ .

Розв’язання

Для а) функція вже у вигляді квадрата двочлена: $y = - (x - 2)^{2} + 3$ . Оскільки коефіцієнт при квадраті від'ємний, вершина — максимум. Максимальне значення $c = 3$ .
Для б) також готовий вигляд: $y = - 0, 25 (x + 5)^{2} + 0$ . Максимум дорівнює $0$ .
Для в) знайдемо вершину за формулою $x_{0} = - \frac{- 1}{2 \cdot ( - 1 )} = - 0, 5$ . Підставимо $x = - 0, 5$ у вираз: $y = 6 (- 0, 5) - (- 0, 5)^{2} - 10 = - 3 - 0, 25 - 10 = - 13, 25$ .
Для г) знайдемо вершину: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 5 )} = 0, 4$ . Підставимо в вираз: $y = - 5 (0, 4)^{2} + 4 (0, 4) + 1 = - 0, 8 + 1, 6 + 1 = 1, 8$ .

Відповідь:

а) $3$ ; б) $0$ ; в) $- 13, 25$ ; г) $1, 8$ .

Завдання 1300

Точки перетину графіка з віссю x

а) $y = x^{2} + 10 x - 11$ ; б) $y = 2 x^{2} + 3 x - 9$ ; в) $y = - 2 x^{2} + 7 x - 3$ ; г) $y = - 2 x (x + 3)$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $x^{2} + 10 x - 11 = 0$ . Дискримінант $D = 100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 144$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 10 - 12}{2} = - 11$ , $x_{2} = \frac{- 10 + 12}{2} = 1$ . Точки: $(- 11; 0)$ і $(1; 0)$ .
б) Розв'язуємо $2 x^{2} + 3 x - 9 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 81$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 3 - 9}{4} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 3 + 9}{4} = 1, 5$ . Точки: $(- 3; 0)$ і $(1, 5; 0)$ .
в) Розв'язуємо $- 2 x^{2} + 7 x - 3 = 0$ , або $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 24 = 25$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Точки: $(0, 5; 0)$ і $(3; 0)$ .
г) Розв'язуємо $- 2 x (x + 3) = 0$ . Звідси одержимо два випадки: $- 2 x = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Точки: $(0; 0)$ і $(- 3; 0)$ .

Відповідь:

а) $(- 11; 0), (1; 0)$ ; б) $(- 3; 0), (1, 5; 0)$ ; в) $(0, 5; 0), (3; 0)$ ; г) $(0; 0), (- 3; 0)$ .

Завдання 1302

Побудова графіків квадратних функцій

Побудувати графіки функцій за формулами: а) $y = (x + 2)^{2} - 3$ ; б) $y = (x - 1)^{2} + 3$ ; в) $y = 2 (x + 1)^{2} - 1$ ; г) $y = 0, 5 (x - 2)^{2} - 2$ .

Розв’язання

Для пункту а) ( $y = (x + 2)^{2} - 3$ ): вершина $V (- 2; - 3)$ , гач розкривається вгору ( $a = 1$ ). Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = - 3 + 4 = 1$ , тобто $(0; 1)$ .
Для пункту б) ( $y = (x - 1)^{2} + 3$ ): вершина $V (1; 3)$ , гач розкривається вгору ( $a = 1$ ). Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 1 + 3 = 4$ , тобто $(0; 4)$ .
Для пункту в) ( $y = 2 (x + 1)^{2} - 1$ ): вершина $V (- 1; - 1)$ , гач розкривається вгору ( $a = 2$ ), він «вузький». Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 2 (1) - 1 = 1$ , тобто $(0; 1)$ .
Для пункту г) ( $y = 0, 5 (x - 2)^{2} - 2$ ): вершина $V (2; - 2)$ , гач розкривається вгору ( $a = 0, 5$ ), він «широкий». Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0, 5 (4) - 2 = 0$ , тобто $(0; 0)$ .

Відповідь:

Графіки побудовані за вершинами та напрямом розкриття. а) Вершина $(- 2; - 3)$ ; б) Вершина $(1; 3)$ ; в) Вершина $(- 1; - 1)$ ; г) Вершина $(2; - 2)$ . (Рисунки графіків неможливо відтворити текстом, але опис вершин та характеру парабол наведений вище).