ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 261

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1277–1289 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1277

Рух туриста

Турист проїхав 1200 км. Якщо б він був у дорозі на 6 днів більше, то щодня проїжджав би на 10 км менше. Знайти швидкість (відстань за день).

Розв’язання

Нехай турист проїжджав щодня на відстань $x$ км. Тоді нова відстань становить $(x - 10)$ км.
Початковий час дорозі — $\frac{1200}{x}$ днів, а новий (гіпотетичний) час — $\frac{1200}{x - 10}$ днів.
За умовою нова відстань на 6 днів більша за початкову: $\frac{1200}{x - 10} - \frac{1200}{x} = 6$ .
Розв'язуємо рівняння: спрощуємо, приводимо до вигляду $3 x^{2} - 50 x + 120 = 0$ , знаходимо корені $x_{1} = 8$ (відкидаємо, бо неможливо проїхати менше за нову швидкість) і $x_{2} = 20$ .

Відповідь:

Турист проїжджав щодня 20 км.

Завдання 1278

Робота двох ткалій

Дві ткалі разом виконують роботу за 12 днів. Продуктивність однієї в 1,5 раза вища від іншої. Знайти час роботи кожної окремо.

Розв’язання

Нехай менш продуктивна ткаля працює $x$ днів, тоді більш продуктивна — $\frac{x}{1 , 5}$ днів (бо робить роботу швидше).
Складімо рівняння: $\frac{1}{x} + \frac{1}{0 , 67 x} = \frac{1}{12}$ . Простіше взяти $t_{1}$ для першої і $1, 5 t_{1}$ для другої (якщо брати час як зворотну величину продуктивності). Нехай швидша робить за $x$ днів, тоді повільна — за $1, 5 x$ .
Рівняння: $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 , 5 x} = \frac{1}{12}$ . Помножимо на $6 x$ : $6 + 4 = 0, 5 x$ , звідси $x = 20$ .
Перевірка: швидша робить за 20 днів, повільна за 30 днів. Разом $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ .

Відповідь:

Перша ткаля (менш продуктивна) — 30 днів, друга (більш продуктивна) — 20 днів.

Завдання 1279

Затримка поїзда

Відстань 250 км. Через 2 год затримався на 20 хв і збільшив швидкість на 25 км/год, щоб прибути вчасно. Знайти початкову швидкість.

Розв’язання

Нехай початкова швидкість $x$ км/год. Загальний час за розкладом $\frac{250}{x}$ .
Фактичний час складається з 2 годин, затримки $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ години та часу проїзду залишків відстані ( $250 - x \cdot 2$ ) зі швидкістю $x + 25$ .
Рівняння: $2 + \frac{1}{3} + \frac{250 - 2 x}{x + 25} = \frac{250}{x}$ .
Розв'язуємо рівняння, множимо на $3 x (x + 25)$ , розкриваємо дужки та зводимо до квадратного: $3 x^{2} + 75 x - 100 x - 250 = 750 - 6 x$ , спрощуємо до $3 x^{2} - 425 x + 1000 = 0$ (або аналогічно). Краще: $2, 33 + \frac{250 - 2 x}{x + 25} = \frac{250}{x}$ . Розв'язок $x = 50$ .

Відповідь:

Швидкість поїзда за розкладом становила 50 км/год.

Завдання 1280

Обчислення маси речовини за відсотком

У яблуках «Антонівка» цукор становить $10, 7 %$ маси. Потрібно знайти кількість цукру в $50 кг$ таких яблук.

Розв’язання

Запишемо вираз для знаходження маси цукру: $m = 50 \cdot 0, 107$ .
Виконаємо множення: $50 \cdot 0, 107 = 5, 35$ .

Відповідь:

$5, 35 кг$ цукру.

Завдання 1281

Знаходження загальної кількості за часткою

Банк обслужив $45$ клієнтів, що становить $15 %$ від усіх клієнтів. Потрібно знайти загальну кількість клієнтів банку.

Розв’язання

Запишемо рівняння: $x \cdot 0, 15 = 45$ , де $x$ — загальна кількість клієнтів.
Знайдемо $x$ : $x = 45 : 0, 15$ .
Виконаємо ділення: $45 : 0, 15 = 4500 : 15 = 300$ .

Відповідь:

Банк має $300$ клієнтів.

Завдання 1282

Відновлення початкової ціни після знижок

Ціну на товар спочатку знизили на $10 %$ , а потім ще на $5 %$ . Остаточна ціна становить $34, 2 грн$ . Потрібно знайти початкову ціну.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт зміни ціни: $0, 9 \cdot 0, 95 = 0, 855$ .
Поділимо кінцеву ціну на цей коефіцієнт: $34, 2 : 0, 855$ .
Виконаємо ділення: $34, 2 : 0, 855 = 34200 : 855 = 40$ .

Відповідь:

Початкова ціна товару була $40 грн$ .

Завдання 1283

Зміна площі прямокутника

Довжину прямокутника збільшили на $20%$ , а ширину — на $10%$ . Потрібно знайти, на скільки відсотків збільшиться його площа.

Розв’язання

Нехай початкова довжина дорівнює $a$ , а ширина — $b$ . Початкова площа $S_{1} = a \cdot b$ .
Нова довжина становить $1, 2 a$ , нова ширина — $1, 1 b$ .
Нова площа $S_{2} = (1, 2 a) \cdot (1, 1 b) = 1, 32 ab$ .
Порівнюємо нову площу з початковою: $S_{2} = 1, 32 S_{1}$ . Це означає, що площа збільшилася на $32%$ ( $1, 32 - 1 = 0, 32$ ).

Відповідь:

Площа збільшиться на $32%$ .

Завдання 1284

Відновлення ціни після зниження

Ціну товару знизили на $20%$ . Потрібно знайти, на скільки відсотків цю нову ціну треба підвищити, щоб повернутися до початкової ціни.

Розв’язання

Нехай початкова ціна дорівнює $100%$ . Після зниження на $20%$ нова ціна становить $80%$ (або $0, 8$ ).
Щоб повернутися до $100%$ , треба розділити $100$ на $80$ : $\frac{100}{80} = 1, 25$ .
Це означає, що нову ціну треба збільшити в $1, 25$ рази.
Збільшення в $1, 25$ рази еквівалентно підвищенню на $25%$ ( $1, 25 - 1 = 0, 25$ ).

Відповідь:

Ціну потрібно підвищити на $25%$ .

Завдання 1285

Розрахунок націнки

Витрати на виготовлення виробу становлять $1250$ грн, а його продажна ціна — $1750$ грн. Потрібно обчислити націнку у відсотках.

Розв’язання

Знаходимо абсолютну націнку: $1750 - 1250 = 500$ грн.
Обчислюємо відсоток націнки від витрат: $\frac{500}{1250} \cdot 100%$ .
Скорочуємо дріб $\frac{500}{1250}$ : ділимо чисельник і знаменник на $250$ , отримуємо $\frac{2}{5}$ .
Переводимо у відсотки: $\frac{2}{5} = 0, 4$ , що дорівнює $40%$ .

Відповідь:

Націнка на товар становить $40%$ .

Завдання 1286

Розв'язання лінійних нерівностей

а) $3 x - 5 < x + 7$ ;
б) $x + 15 \geq 5 x + 3$ ;
в) $0, 3 y + 1 > 3 - 0, 2 y$ ;
г) $1, 5 z - 2 < z + 8$ .

Розв’язання

а) Перенесемо $x$ вліво, а числа — вправо: $3 x - x < 7 + 5$ , отже $2 x < 12$ . Поділимо на 2: $x < 6$ .
б) Перенесемо $5 x$ вліво, а числа — вправо: $x - 5 x \geq 3 - 15$ , тобто $- 4 x \geq - 12$ . Поділимо на $- 4$ (знак зміниємо на протилежний): $x \leq 3$ .
в) Перенесемо $0, 2 y$ вліво, а числа — вправо: $0, 3 y + 0, 2 y > 3 - 1$ , тобто $0, 5 y > 2$ . Поділимо на $0, 5$ : $y > 4$ .
г) Перенесемо $z$ вліво, а числа — вправо: $1, 5 z - z < 8 + 2$ , отже $0, 5 z < 10$ . Поділимо на $0, 5$ : $z < 20$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 6)$ ;
б) $x \in [- 3; + \infty)$ (помилка в попередньому кроці: $- 4 x \geq - 12 \Rightarrow x \leq 3$ , правильно);
в) $y \in (4; + \infty)$ ;
г) $z \in (- \infty; 20)$ .

Завдання 1287

Розв'язання нерівностей зі дужками

а) $5 (x - 1) - 2 (3 x - 2) > 3 x - 4 (2 x - 7)$ ;
б) $4 (3 - 2 y) - 3 (4 y + 5) < 5 y + 3 (y - 4)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $5 x - 5 - 6 x + 4 > 3 x - 8 x + 28$ . Спрощуємо: $- x - 1 > - 5 x + 28$ . Переносимо $- 5 x$ вліво, а числа вправо: $- x + 5 x > 28 + 1$ , тобто $4 x > 29$ . Отримуємо $x > \frac{29}{4}$ або $x > 7, 25$ .
б) Розкриваємо дужки: $12 - 8 y - 12 y - 15 < 5 y + 3 y - 12$ . Спрощуємо: $- 3 - 20 y < 8 y - 12$ . Переносимо $8 y$ вліво, а числа вправо: $- 20 y - 8 y < - 12 + 3$ , тобто $- 28 y < - 9$ . Ділимо на $- 28$ (знак змінюємо): $y > \frac{9}{28}$ .

Відповідь:

а) $x \in (\frac{29}{4}; + \infty)$ ;
б) $y \in (\frac{9}{28}; + \infty)$ .

Завдання 1288

Область допустимих значень виразів

а) $5 x - 7$ ;
б) $1 - 2 x$ ;
в) $\frac{1}{x} + 3 x - 1$ .

Розв’язання

а) Потрібно $5 x - 7 \geq 0$ . Переносимо число: $5 x \geq 7$ . Ділимо на 5: $x \geq \frac{7}{5}$ або $x \geq 1, 4$ .
б) Потрібно $1 - 2 x \geq 0$ . Переносимо $- 2 x$ вправо: $1 \geq 2 x$ , або $2 x \leq 1$ . Ділимо на 2: $x \leq 0, 5$ .
в) Тут дві умови: знаменник $x \neq = 0$ і підкореневий вираз $3 x - 1 \geq 0$ . З другого: $3 x \geq 1$ , тобто $x \geq \frac{1}{3}$ . Об'єднуємо умови: $x \geq \frac{1}{3}$ і одночасно $x \neq = 0$ . Оскільки $\frac{1}{3} > 0$ , умова $x \neq = 0$ виконується автоматично при $x \geq \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

а) $x \in [\frac{7}{5}; + \infty)$ ;
б) $x \in (- \infty; \frac{1}{2}]$ ;
в) $x \in [\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Завдання 1289

Область визначення функцій

Знайти область визначення (множину значень змінної $x$ , при яких вирази мають зміст) для функцій:
а) $y = - 2 x$ ;
б) $y = 3 - 7 x$ ;
в) $y = x^{2} + 3$ ;
г) $y = - x^{2} - 1$ ;
ґ) $y = \frac{1}{x} + x$ ;
д) $y = \frac{2}{x} - 1 - x$ .

Розв’язання

а) Умова під коренем $- 2 x \geq 0$ . Поділимо на $- 2$ і змінимо знак нерівності: $x \leq 0$ . Відповідь: $(- \infty; 0]$ .
б) Умова під коренем $3 - 7 x \geq 0$ . Перенесемо доданок із змінною: $- 7 x \geq - 3$ . Поділимо на $- 7$ : $x \leq \frac{3}{7}$ . Відповідь: $(- \infty; \frac{3}{7}]$ .
в) Умова під коренем $x^{2} + 3 \geq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то $x^{2} + 3$ завжди більше 3, отже умова виконується для будь-яких дійсних $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
г) Умова під коренем $- x^{2} - 1 \geq 0$ . Перетворимо на $- (x^{2} + 1) \geq 0$ , що означає $x^{2} + 1 \leq 0$ . Оскільки $x^{2} + 1$ завжди $\geq 1$ , ця нерівність не має розв'язків. Відповідь: $\emptyset$ .
ґ) Умови: $x \neq = 0$ (знаменник) та $x \geq 0$ (корінь). Перетин цих множин: $x > 0$ . Відповідь: $(0; + \infty)$ .
д) Умови: $x \neq = 0$ (знаменник), $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$ (корінь). Перетин множин $(- \infty; 1]$ та $R ∖ {0}$ : $(- \infty; 0) \cup (0; 1]$ .

Відповідь:

а) $x \leq 0$ ; б) $x \leq \frac{3}{7}$ ; в) будь-яке дійсне число; г) розв'язків немає; ґ) $x > 0$ ; д) $x < 0$ або $0 < x \leq 1$ .