Сторінка 260

Розв’язання

1. а) Розкриваємо дужки: $2x-3x+3y=7\Rightarrow -x+3y=7$; $5y-2x+4y=23\Rightarrow -2x+9y=23$. Отримуємо систему $\{\begin{array}{l}-x+3y=7\\ -2x+9y=23\end{array}$.

2. Помножимо перше рівняння на $-2$: $2x-9y=-14$. Додаємо до другого рівняння: $(-2x+9y)+(2x-9y)=23-14\Rightarrow 0=9$, що неможливо.

Розв’язання

1. а) Перше рівняння множимо на 5: $4x-5y=35$. Друге множимо на 15: $10x+3y=165$. Помножимо перше нове рівняння на 2: $8x-10y=70$. Знову помножимо друге на 10: $100x+30y=1650$ (спрощеніший шлях: з першого $4x-5y=35\Rightarrow y=\frac{4x-35}{5}$. Підставимо у друге: $\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}\cdot \frac{4x-35}{5}=11\Rightarrow \frac{2}{3}x+\frac{4x-35}{25}=11$. Помножимо на 75: $50x+3(4x-35)=825\Rightarrow 50x+12x-105=825\Rightarrow 62x=930\Rightarrow x=15$. Знаходимо $y$: $\frac{4}{5}\cdot 15-y=7\Rightarrow 12-y=7\Rightarrow y=5$.

Розв’язання

1. а) Перше рівняння множимо на 12: $4(5+y)-3(3x+4y)=12(3x+1)\Rightarrow 20+4y-9x-12y=36x+12\Rightarrow -9x-8y+20=36x+12\Rightarrow 45x+8y=8$. Друге рівняння множимо на 6: $2(7x+2)+3(4x-3)+11=6(1-3x)\Rightarrow 14x+4+12x-9+11=6-18x\Rightarrow 26x+6=6-18x\Rightarrow 44x=0\Rightarrow x=0$. Підставляємо $x=0$ у перше: $45(0)+8y=8\Rightarrow y=1$.

Розв’язання

1. Система а):
   - Виразимо $x$ з першого рівняння: $x=y+3$.
   - Підставимо у друге рівняння: $(y+3{)}^2+y^2=9$.
   - Розкриємо дужки та спростимо: $y^2+6y+9+y^2=9\Rightarrow 2y^2+6y=0$.
   - Розв'яжемо квадратне рівняння: $2y(y+3)=0$, отже $y_1=0,y_2=-3$.
   - Знайдемо відповідні значення $x$: якщо $y=0$, то $x=3$; якщо $y=-3$, то $x=0$.

2. Система б):
   - Виразимо $x$ з першого рівняння: $x=y+3$.
   - Підставимо у друге рівняння: $(y+3)y=4\Rightarrow y^2+3y-4=0$.
   - Знайдемо корені квадратного рівняння: $D=9-4(1)(-4)=25$, $y_1=\frac{-3+5}{2}=1,y_2=\frac{-3-5}{2}=-4$.
   - Знайдемо відповідні значення $x$: якщо $y=1$, то $x=4$; якщо $y=-4$, то $x=-1$.

Розв’язання

1. Система а):
   - Додамо рівняння системи: $(x+y-xy)+(x-y+xy)=-23+49\Rightarrow 2x=26\Rightarrow x=13$.
   - Підставимо $x=13$ у перше рівняння: $13+y-13y=-23\Rightarrow -12y=-36\Rightarrow y=3$.

2. Система б):
   - Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^2+xy)-(y^2+xy)=15-10\Rightarrow x^2-y^2=5$.
   - Перетворимо різницю квадратів: $(x-y)(x+y)=5$.
   - Складемо нову систему, ввівши $u=x-y$ та $v=x+y$: $\{\begin{array}{l}uv=5,\\ x^2+xy=15.\end{array}$ (Або розв'язати методом підстановки: $x^2-y^2=5$. З першого рівняння $y=\frac{15-x^2}{x}$. Підставимо у друге: $(\frac{15-x^2}{x}{)}^2+x(\frac{15-x^2}{x})=10$. Це складно. Краще спробувати підібрати цілі корені або розв'язати як систему відносно $x,y$).
   - Спробуємо інший шлях: з першого рівняння $xy=15-x^2$, підставимо у друге: $y^2+15-x^2=10\Rightarrow y^2-x^2=-5$.
   - Маємо систему $\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=5,\\ xy=15-x^2.\end{array}$ Це не зручно. Повернемося до $x^2-y^2=5$.
   - Розглянемо рівняння $y^2+xy=10$ і $x^2+xy=15$. Віднімемо: $x^2-y^2=5\Rightarrow (x-y)(x+y)=5$. Оскільки ми шукаємо цілі числа, можливі пари $(x-y,x+y)$ це $(1,5)$ або $(-1,-5)$.
   - Якщо $x-y=1$ і $x+y=5$, то $2x=6\Rightarrow x=3,y=2$. Перевірка: $9+6=15$, $4+6=10$. Підходить.
   - Якщо $x-y=-1$ і $x+y=-5$, то $2x=-6\Rightarrow x=-3,y=-4$. Перевірка: $9+12=21\ne 15$. Не підходить.
   - Отже, єдине ціле рішення $(3;2)$. Але можуть бути й інші (нецілі). Розв'яжемо точно: $x^2-y^2=5\Rightarrow y^2=x^2-5$. Підставимо у друге рівняння: $x^2-5+x\sqrt{x^2-5}=10$ (не зручно).
   - Спробуємо підстановку $y=\frac{10-y^2}{x}$? Ні.
   - Розв'язання через дискримінант: $y^2+xy-10=0$. $D_y=x^2+40$. $y=\frac{-x\pm \sqrt{x^2+40}}{2}$. Підставимо у перше: $x^2+x\frac{-x\pm \sqrt{x^2+40}}{2}=15\Rightarrow 2x^2-x^2\mp x\sqrt{x^2+40}=30\Rightarrow x^2\mp x\sqrt{x^2+40}=30$. Це складно.
   - Повернемося до цілих коренів, можливо єдиний варіант $(3;2)$. Перевіримо ще раз: $x=3,y=2\Rightarrow 9+6=15$, $4+6=10$. Так. Чи є інші?
   - Розв'яжемо систему $\{\begin{array}{l}{x}^2+xy=15\\ y^2+xy=10\end{array}$. Віднімемо: $x^2-y^2=5$. Нехай $x=3,y=2$. Якщо $x=-3$, то $y$ має бути комплексним або дробовим.
   - Давайте розв'яжемо точно: $xy=15-x^2$. Підставимо у друге: $y^2+15-x^2=10\Rightarrow y^2=x^2-5$. Тоді $(x^2-5)+x\sqrt{x^2-5}=10$ (припустимо $y>0$). Це не лінійне.
   - Спробуємо підстановку $u=x,v=y$. Система симетрична? Ні.
   - Розв'язок $(3;2)$ єдиний цілий. Перевіримо чи немає інших дійсних. Графічно гіперболи перетинаються в одній точці у першому квадранті. В іншому квадранті $x,y$

Розв’язання

1. Система а):
   - Введемо $u=x+y$ та $v=xy$. Система набуває вигляду: $\{\begin{array}{l}5u+2v=-19,\\ u+3v=-35.\end{array}$
   - Виразимо $u$ з другого рівняння: $u=-35-3v$. Підставимо у перше: $5(-35-3v)+2v=-19\Rightarrow -175-15v+2v=-19\Rightarrow -13v=156\Rightarrow v=-12$.
   - Знайдемо $u$: $u=-35-3(-12)=-35+36=1$.
   - Маємо систему $\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ xy=-12.\end{array}$ Корені є коренями квадратного рівняння $t^2-(x+y)t+xy=0\Rightarrow t^2-t-12=0$.
   - $D=1+48=49,t_1=\frac{1+7}{2}=4,t_2=\frac{1-7}{2}=-3$.

2. Система б):
   - Введемо $u=x+y$ та $v=xy$. Перше рівняння: $v+u=-11\Rightarrow u=-11-v$.
   - Друге рівняння: $xy(x+y)=30\Rightarrow vu=30$.
   - Підставимо $u$: $v(-11-v)=30\Rightarrow -11v-v^2=30\Rightarrow v^2+11v+30=0$.
   - $D=121-120=1,v_1=\frac{-11+1}{2}=-5,v_2=\frac{-11-1}{2}=-6$.
   - Якщо $v=-5$, то $u=-11-(-5)=-6$. Маємо $\{\begin{array}{l}x+y=-6,\\ xy=-5.\end{array}$ Рівняння $t^2+6t-5=0$. $D=36+20=56$. $t=\frac{-6\pm \sqrt{56}}{2}=-3\pm \sqrt{14}$.
   - Якщо $v=-6$, то $u=-11-(-6)=-5$. Маємо $\{\begin{array}{l}x+y=-5,\\ xy=-6.\end{array}$ Рівняння $t^2+5t-6=0$. $(t+6)(t-1)=0\Rightarrow t_1=-6,t_2=1$.

Розв’язання

1. Позначимо масу пшениці на другому тоці за $x$ ц, а на першому — $y$ ц. За умовою маємо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=990\\ y=1,2x\end{array}$.

2. Підставимо друге рівняння в перше: $x+1,2x=990$, що дає $2,2x=990$.

3. Знайдемо $x$: $x=\frac{990}{2,2}=450$ ц. Тоді $y=1,2\cdot 450=540$ ц.

Розв’язання

1. Складемо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=1800\\ 0,4x+0,3y=640\end{array}$ (оскільки залишилось $40\%$ від першого і $30\%$ від другого).

2. Помножимо друге рівняння на $10$: $4x+3y=6400$. З першого рівняника виразимо $y=1800-x$.

3. Підставимо у друге: $4x+3(1800-x)=6400\Rightarrow 4x+5400-3x=6400\Rightarrow x=1000$.

4. Знайдемо $y$: $y=1800-1000=800$.

Розв’язання

1. Кількість учнів, що не розв'язали жодної задачі: $0,15x$.

2. Кількість учнів, які розв'язали правильно ($y$): $\frac{5}{3}\cdot 0,15x=0,25x$.

3. Складне рівняння: $0,15x+144+0,25x=x$.

4. Розв'язуємо: $0,4x+144=x\Rightarrow 144=0,6x\Rightarrow x=\frac{144}{0,6}=240$.

Розв’язання

1. Позначимо швидкість швидкого поїзда як $v_1=x\text{км/год}$, а швидкість товарного — $v_2=x-20\text{км/год}$.

2. Час руху швидкого поїзда дорівнює $\frac{400}{x}$, а товарного — $\frac{400}{x-20}$. За умовою різниця цих часів становить $1\text{год}$.

3. Складемо рівняння: $\frac{400}{x-20}-\frac{400}{x}=1$. Помножимо обидві частини на спільний знаменник $x(x-20)$, щоб позбутися дробів: $400x-400(x-20)=x(x-20)$.

4. Розкриємо дужки та спростимо ліву частину: $400x-400x+8000=x^2-20x$, отже $8000=x^2-20x$. Перенесемо всі доданки в одну сторону: $x^2-20x-8000=0$.

5. Знайдемо корені квадратного рівняння за формулою дискримінанту або розкладання на множники. Дискримінант $D=(-20{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8000)=400+32000=32400$. Корінь з $D$ дорівнює $180$.