Завдання 1322, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1322

Знаходження геометричної прогресії за сумами членів

Потрібно знайти шестичленну геометричну прогресію. Сума трьох перших членів дорівнює $168$ , а сума трьох останніх — $21$ .

Розв’язання

Запишемо співвідношення між сумами: $\frac{b _{4} + b _{5} + b _{6}}{b _{1} + b _{2} + b _{3}} = \frac{q ^{3} ( b _{1} + b _{1} q + b _{1} q ^{2} )}{b _{1} ( 1 + q + q ^{2} )} = q^{3}$ .
Підставимо відомі значення: $\frac{21}{168} = q^{3}$ . Скоротимо дріб: $21 : 168 = 1 : 8$ , отже $q^{3} = \frac{1}{8}$ , звідки $q = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо перший член $b_{1}$ з рівняння $b_{1} (1 + q + q^{2}) = 168$ . Підставимо $q = 0, 5$ : $b_{1} (1 + 0, 5 + 0, 25) = 168 \Rightarrow b_{1} \cdot 1, 75 = 168$ .
Обчислимо $b_{1}$ : $b_{1} = \frac{168}{1 , 75} = 96$ . Тепер знайдемо всі члени: $b_{2} = 96 \cdot 0, 5 = 48$ , $b_{3} = 24$ , $b_{4} = 12$ , $b_{5} = 6$ , $b_{6} = 3$ .

Відповідь:

Прогресія складається з членів $96, 48, 24, 12, 6, 3$ .

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1322 с. 264

Знаходження геометричної прогресії за сумами членів

Умова

Що треба знати

Нехай прогресія має вигляд $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{6}$ з різницею $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ . Сума перших трьох членів: $S_{3} = b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 168$ . Сума останніх трьох членів ( $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ ) можна виразити через перші три: $b_{4} = b_{1} q^{3}$ , $b_{5} = b_{1} q^{4}$ , $b_{6} = b_{1} q^{5}$ . Отже, сума останніх трьох дорівнює $S_{3}^{'} = q^{3} (b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2}) = 168 q^{3}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади рівняння для суми останніх трьох членів через $q$ та сума перших трьох, знайди значення $q$ , а потім обчисли всі шість членів.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо співвідношення між сумами: $\frac{b _{4} + b _{5} + b _{6}}{b _{1} + b _{2} + b _{3}} = \frac{q ^{3} ( b _{1} + b _{1} q + b _{1} q ^{2} )}{b _{1} ( 1 + q + q ^{2} )} = q^{3}$ .
Підставимо відомі значення: $\frac{21}{168} = q^{3}$ . Скоротимо дріб: $21 : 168 = 1 : 8$ , отже $q^{3} = \frac{1}{8}$ , звідки $q = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо перший член $b_{1}$ з рівняння $b_{1} (1 + q + q^{2}) = 168$ . Підставимо $q = 0, 5$ : $b_{1} (1 + 0, 5 + 0, 25) = 168 \Rightarrow b_{1} \cdot 1, 75 = 168$ .
Обчислимо $b_{1}$ : $b_{1} = \frac{168}{1 , 75} = 96$ . Тепер знайдемо всі члени: $b_{2} = 96 \cdot 0, 5 = 48$ , $b_{3} = 24$ , $b_{4} = 12$ , $b_{5} = 6$ , $b_{6} = 3$ .

Відповідь:

Прогресія складається з членів $96, 48, 24, 12, 6, 3$ .

Розбір зрозумілий?