Завдання 1318, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1318

Арифметична прогресія, сума членів

Сума першого ( $a_{1}$ ) і п'ятого ( $a_{5}$ ) членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює 14. Добуток другого ( $a_{2}$ ) її члена на четвертий ( $a_{4}$ ) дорівнює 45. Потрібно знайти кількість членів $n$ , при якій сума перших $n$ членів дорівнює 24.

Розв’язання

За умовою $a_{1} + a_{5} = 14$ . Оскільки в арифметичній прогресії сума членів, симетричних відносно середини, однакова, то $a_{1} + a_{n} = a_{1} + a_{5}$ (якщо $n = 5$ , що неможливо для зростаючої прогресії з додатною сумою 24 при таких початкових даних, але перевіримо логіку).
Насправді, використаємо властивість: $a_{1} + a_{n} = a_{k} + a_{n - k + 1}$ . Тут ми маємо $a_{1}$ і $a_{5}$ . Якщо сума перших $n$ членів дорівнює 24, то $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = 24 \Rightarrow n (a_{1} + a_{n}) = 48$ .
Також маємо $a_{2} \cdot a_{4} = 45$ . Запишемо через $a_{1}$ і $d$ : $(a_{1} + d) (a_{1} + 3 d) = 45$ .
Також $a_{1} + a_{5} = a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 4 d = 14 \Rightarrow a_{1} + 2 d = 7 \Rightarrow d = \frac{7 - a _{1}}{2}$ .
Підставимо $d$ у рівняння добутку: $(a_{1} + \frac{7 - a _{1}}{2}) (a_{1} + 3 \cdot \frac{7 - a _{1}}{2}) = 45$ .
Спростимо перший множник: $\frac{2 a _{1} + 7 - a _{1}}{2} = \frac{a _{1} + 7}{2}$ .
Спростимо другий множник: $\frac{2 a _{1} + 21 - 3 a _{1}}{2} = \frac{21 - a _{1}}{2}$ .
Добуток: $\frac{( a _{1} + 7 ) ( 21 - a _{1} )}{4} = 45 \Rightarrow (a_{1} + 7) (21 - a_{1}) = 180$ .
Розкриємо дужки: $- a_{1}^{2} + 14 a_{1} + 147 = 180 \Rightarrow a_{1}^{2} - 14 a_{1} + 33 = 0$ .
Корені: $D = 196 - 132 = 64$ , $D = 8$ . $a_{1} = \frac{14 \pm 8}{2}$ . Отримуємо $a_{1} = 11$ або $a_{1} = 3$ .
Якщо $a_{1} = 11$ , то $d = \frac{7 - 11}{2} = - 2$ (прогресія спадаюча, але в умові сказано "зростаюча", отже відкидаємо).
Якщо $a_{1} = 3$ , то $d = \frac{7 - 3}{2} = 2$ (прогресія зростаюча, підходить).
Тепер знайдемо $n$ . Сума $S_{n} = 24$ . Формула суми: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2} = n (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d)$ .
Підставимо $a_{1} = 3, d = 2$ : $24 = n (3 + \frac{n - 1}{2} \cdot 2) = n (3 + n - 1) = n (n + 2)$ .
Рівняння: $n^{2} + 2 n - 24 = 0$ .
Корені: $D = 4 - 4 \cdot (- 24) = 100$ , $D = 10$ . $n = \frac{- 2 \pm 10}{2}$ .
$n_{1} = 4$ , $n_{2} = - 6$ (не підходить, кількість членів має бути натуральною).
Перевірка: прогресія $3, 5, 7, 9$ . Сума $3 + 5 + 7 + 9 = 24$ . Кількість членів 4.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1318 с. 263

Арифметична прогресія, сума членів

Умова

Що треба знати

Сума двох членів арифметичної прогресії з однаковою відстанню від кінців однакова ( $a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1} = \dots$ ). Формула $n$ -го члена: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Сума перших $n$ членів: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Використай властивість суми протилежних членів, щоб знайти останній член прогресії. Потім скористайся формулою суми $S_{n}$ , підставивши відомі значення та знайдену кількість членів.

Розв’язання крок за кроком

За умовою $a_{1} + a_{5} = 14$ . Оскільки в арифметичній прогресії сума членів, симетричних відносно середини, однакова, то $a_{1} + a_{n} = a_{1} + a_{5}$ (якщо $n = 5$ , що неможливо для зростаючої прогресії з додатною сумою 24 при таких початкових даних, але перевіримо логіку).
Насправді, використаємо властивість: $a_{1} + a_{n} = a_{k} + a_{n - k + 1}$ . Тут ми маємо $a_{1}$ і $a_{5}$ . Якщо сума перших $n$ членів дорівнює 24, то $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = 24 \Rightarrow n (a_{1} + a_{n}) = 48$ .
Також маємо $a_{2} \cdot a_{4} = 45$ . Запишемо через $a_{1}$ і $d$ : $(a_{1} + d) (a_{1} + 3 d) = 45$ .
Також $a_{1} + a_{5} = a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 4 d = 14 \Rightarrow a_{1} + 2 d = 7 \Rightarrow d = \frac{7 - a _{1}}{2}$ .
Підставимо $d$ у рівняння добутку: $(a_{1} + \frac{7 - a _{1}}{2}) (a_{1} + 3 \cdot \frac{7 - a _{1}}{2}) = 45$ .
Спростимо перший множник: $\frac{2 a _{1} + 7 - a _{1}}{2} = \frac{a _{1} + 7}{2}$ .
Спростимо другий множник: $\frac{2 a _{1} + 21 - 3 a _{1}}{2} = \frac{21 - a _{1}}{2}$ .
Добуток: $\frac{( a _{1} + 7 ) ( 21 - a _{1} )}{4} = 45 \Rightarrow (a_{1} + 7) (21 - a_{1}) = 180$ .
Розкриємо дужки: $- a_{1}^{2} + 14 a_{1} + 147 = 180 \Rightarrow a_{1}^{2} - 14 a_{1} + 33 = 0$ .
Корені: $D = 196 - 132 = 64$ , $D = 8$ . $a_{1} = \frac{14 \pm 8}{2}$ . Отримуємо $a_{1} = 11$ або $a_{1} = 3$ .
Якщо $a_{1} = 11$ , то $d = \frac{7 - 11}{2} = - 2$ (прогресія спадаюча, але в умові сказано "зростаюча", отже відкидаємо).
Якщо $a_{1} = 3$ , то $d = \frac{7 - 3}{2} = 2$ (прогресія зростаюча, підходить).
Тепер знайдемо $n$ . Сума $S_{n} = 24$ . Формула суми: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2} = n (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d)$ .
Підставимо $a_{1} = 3, d = 2$ : $24 = n (3 + \frac{n - 1}{2} \cdot 2) = n (3 + n - 1) = n (n + 2)$ .
Рівняння: $n^{2} + 2 n - 24 = 0$ .
Корені: $D = 4 - 4 \cdot (- 24) = 100$ , $D = 10$ . $n = \frac{- 2 \pm 10}{2}$ .
$n_{1} = 4$ , $n_{2} = - 6$ (не підходить, кількість членів має бути натуральною).
Перевірка: прогресія $3, 5, 7, 9$ . Сума $3 + 5 + 7 + 9 = 24$ . Кількість членів 4.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?