Завдання 1317, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1317

Кількість членів прогресії за сумами

Сума чотирьох перших членів арифметичної прогресії дорівнює $56$ , сума чотирьох останніх — $112$ . Перший член прогресії $a_{1} = 11$ . Знайти кількість членів прогресії $n$ .

Розв’язання

Знайдемо четвертий член $a_{4}$ . Сума перших 4 членів: $\frac{4 ( a _{1} + a _{4} )}{2} = 56 \Rightarrow 2 (11 + a_{4}) = 56 \Rightarrow 11 + a_{4} = 28 \Rightarrow a_{4} = 17$ .
Знайдемо різницю $d$ прогресії: $a_{4} = a_{1} + 3 d \Rightarrow 17 = 11 + 3 d \Rightarrow 3 d = 6 \Rightarrow d = 2$ .
Сума чотирьох останніх членів (від $a_{n - 3}$ до $a_{n}$ ) дорівнює $\frac{4 ( a _{n - 3} + a _{n} )}{2} = 112 \Rightarrow 2 (a_{n - 3} + a_{n}) = 112 \Rightarrow a_{n - 3} + a_{n} = 56$ .
Виразимо ці члени через $a_{1}$ і $d$ : $a_{n - 3} = a_{1} + (n - 4) d$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Підставимо: $(11 + (n - 4) \cdot 2) + (11 + (n - 1) \cdot 2) = 56$ .
Розкриємо дужки: $11 + 2 n - 8 + 11 + 2 n - 2 = 56 \Rightarrow 4 n + 12 = 56 \Rightarrow 4 n = 44 \Rightarrow n = 11$ .

Відповідь:

$11$ членів.

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1317 с. 263

Кількість членів прогресії за сумами

Умова

Що треба знати

Сума перших $k$ членів дорівнює $\frac{k ( a _{1} + a _{k} )}{2}$ . Сума останніх $k$ членів (від $a_{n - k + 1}$ до $a_{n}$ ) дорівнює $\frac{k ( a _{n - k + 1} + a _{n} )}{2}$ . Також використовуємо властивість: сума першого і останнього члена дорівнює сумі другого і передостаннього тощо ( $a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1}$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайди $a_{4}$ (четвертий член) через суму перших чотирьох. Потім вираз $a_{n}$ (останній член) через суму останніх чотирьох та $a_{n - 3}$ . Використай властивість арифметичної прогресії, щоб пов'язати ці значення з $a_{1}$ і знайти $n$ .

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо четвертий член $a_{4}$ . Сума перших 4 членів: $\frac{4 ( a _{1} + a _{4} )}{2} = 56 \Rightarrow 2 (11 + a_{4}) = 56 \Rightarrow 11 + a_{4} = 28 \Rightarrow a_{4} = 17$ .
Знайдемо різницю $d$ прогресії: $a_{4} = a_{1} + 3 d \Rightarrow 17 = 11 + 3 d \Rightarrow 3 d = 6 \Rightarrow d = 2$ .
Сума чотирьох останніх членів (від $a_{n - 3}$ до $a_{n}$ ) дорівнює $\frac{4 ( a _{n - 3} + a _{n} )}{2} = 112 \Rightarrow 2 (a_{n - 3} + a_{n}) = 112 \Rightarrow a_{n - 3} + a_{n} = 56$ .
Виразимо ці члени через $a_{1}$ і $d$ : $a_{n - 3} = a_{1} + (n - 4) d$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Підставимо: $(11 + (n - 4) \cdot 2) + (11 + (n - 1) \cdot 2) = 56$ .
Розкриємо дужки: $11 + 2 n - 8 + 11 + 2 n - 2 = 56 \Rightarrow 4 n + 12 = 56 \Rightarrow 4 n = 44 \Rightarrow n = 11$ .

Відповідь:

$11$ членів.

Розбір зрозумілий?