Система а): - Введемо u=x+y та v=xy. Система набуває вигляду: {5u+2v=−19,u+3v=−35. - Виразимо u з другого рівняння: u=−35−3v. Підставимо у перше: 5(−35−3v)+2v=−19⇒−175−15v+2v=−19⇒−13v=156⇒v=−12. - Знайдемо u: u=−35−3(−12)=−35+36=1. - Маємо систему {x+y=1,xy=−12. Корені є коренями квадратного рівняння t2−(x+y)t+xy=0⇒t2−t−12=0. - D=1+48=49,t1=21+7=4,t2=21−7=−3.
Система б): - Введемо u=x+y та v=xy. Перше рівняння: v+u=−11⇒u=−11−v. - Друге рівняння: xy(x+y)=30⇒vu=30. - Підставимо u: v(−11−v)=30⇒−11v−v2=30⇒v2+11v+30=0. - D=121−120=1,v1=2−11+1=−5,v2=2−11−1=−6. - Якщо v=−5, то u=−11−(−5)=−6. Маємо {x+y=−6,xy=−5. Рівняння t2+6t−5=0. D=36+20=56. t=2−6±56=−3±14. - Якщо v=−6, то u=−11−(−6)=−5. Маємо {x+y=−5,xy=−6. Рівняння t2+5t−6=0. (t+6)(t−1)=0⇒t1=−6,t2=1.
Вводимо нові змінні u=x+y та v=xy, що перетворює систему на квадратну відносно u і v.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
У завданні а) позначте x+y=u,xy=v, у б) теж спробуйте ввести такі змінні.
Розв’язання крок за кроком
Система а): - Введемо u=x+y та v=xy. Система набуває вигляду: {5u+2v=−19,u+3v=−35. - Виразимо u з другого рівняння: u=−35−3v. Підставимо у перше: 5(−35−3v)+2v=−19⇒−175−15v+2v=−19⇒−13v=156⇒v=−12. - Знайдемо u: u=−35−3(−12)=−35+36=1. - Маємо систему {x+y=1,xy=−12. Корені є коренями квадратного рівняння t2−(x+y)t+xy=0⇒t2−t−12=0. - D=1+48=49,t1=21+7=4,t2=21−7=−3.
Система б): - Введемо u=x+y та v=xy. Перше рівняння: v+u=−11⇒u=−11−v. - Друге рівняння: xy(x+y)=30⇒vu=30. - Підставимо u: v(−11−v)=30⇒−11v−v2=30⇒v2+11v+30=0. - D=121−120=1,v1=2−11+1=−5,v2=2−11−1=−6. - Якщо v=−5, то u=−11−(−5)=−6. Маємо {x+y=−6,xy=−5. Рівняння t2+6t−5=0. D=36+20=56. t=2−6±56=−3±14. - Якщо v=−6, то u=−11−(−6)=−5. Маємо {x+y=−5,xy=−6. Рівняння t2+5t−6=0. (t+6)(t−1)=0⇒t1=−6,t2=1.
