Завдання 1271, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1271

Система рівнянь способом алгебраїчного додавання

а) ${x + y - x y = - 23, x - y + x y = 49;$
б) ${x^{2} + x y = 15, y^{2} + x y = 10.$

Розв’язання

Система а):
- Додамо рівняння системи: $(x + y - x y) + (x - y + x y) = - 23 + 49 \Rightarrow 2 x = 26 \Rightarrow x = 13$ .
- Підставимо $x = 13$ у перше рівняння: $13 + y - 13 y = - 23 \Rightarrow - 12 y = - 36 \Rightarrow y = 3$ .
Система б):
- Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + x y) - (y^{2} + x y) = 15 - 10 \Rightarrow x^{2} - y^{2} = 5$ .
- Перетворимо різницю квадратів: $(x - y) (x + y) = 5$ .
- Складемо нову систему, ввівши $u = x - y$ та $v = x + y$ : ${uv = 5, x^{2} + x y = 15.$ (Або розв'язати методом підстановки: $x^{2} - y^{2} = 5$ . З першого рівняння $y = \frac{15 - x ^{2}}{x}$ . Підставимо у друге: $(\frac{15 - x ^{2}}{x})^{2} + x (\frac{15 - x ^{2}}{x}) = 10$ . Це складно. Краще спробувати підібрати цілі корені або розв'язати як систему відносно $x, y$ ).
- Спробуємо інший шлях: з першого рівняння $x y = 15 - x^{2}$ , підставимо у друге: $y^{2} + 15 - x^{2} = 10 \Rightarrow y^{2} - x^{2} = - 5$ .
- Маємо систему ${x^{2} - y^{2} = 5, x y = 15 - x^{2} .$ Це не зручно. Повернемося до $x^{2} - y^{2} = 5$ .
- Розглянемо рівняння $y^{2} + x y = 10$ і $x^{2} + x y = 15$ . Віднімемо: $x^{2} - y^{2} = 5 \Rightarrow (x - y) (x + y) = 5$ . Оскільки ми шукаємо цілі числа, можливі пари $(x - y, x + y)$ це $(1, 5)$ або $(- 1, - 5)$ .
- Якщо $x - y = 1$ і $x + y = 5$ , то $2 x = 6 \Rightarrow x = 3, y = 2$ . Перевірка: $9 + 6 = 15$ , $4 + 6 = 10$ . Підходить.
- Якщо $x - y = - 1$ і $x + y = - 5$ , то $2 x = - 6 \Rightarrow x = - 3, y = - 4$ . Перевірка: $9 + 12 = 21 \neq = 15$ . Не підходить.
- Отже, єдине ціле рішення $(3; 2)$ . Але можуть бути й інші (нецілі). Розв'яжемо точно: $x^{2} - y^{2} = 5 \Rightarrow y^{2} = x^{2} - 5$ . Підставимо у друге рівняння: $x^{2} - 5 + x x^{2} - 5 = 10$ (не зручно).
- Спробуємо підстановку $y = \frac{10 - y ^{2}}{x}$ ? Ні.
- Розв'язання через дискримінант: $y^{2} + x y - 10 = 0$ . $D_{y} = x^{2} + 40$ . $y = \frac{- x \pm x ^{2} + 40}{2}$ . Підставимо у перше: $x^{2} + x \frac{- x \pm x ^{2} + 40}{2} = 15 \Rightarrow 2 x^{2} - x^{2} \mp x x^{2} + 40 = 30 \Rightarrow x^{2} \mp x x^{2} + 40 = 30$ . Це складно.
- Повернемося до цілих коренів, можливо єдиний варіант $(3; 2)$ . Перевіримо ще раз: $x = 3, y = 2 \Rightarrow 9 + 6 = 15$ , $4 + 6 = 10$ . Так. Чи є інші?
- Розв'яжемо систему ${x^{2} + x y = 15 y^{2} + x y = 10$ . Віднімемо: $x^{2} - y^{2} = 5$ . Нехай $x = 3, y = 2$ . Якщо $x = - 3$ , то $y$ має бути комплексним або дробовим.
- Давайте розв'яжемо точно: $x y = 15 - x^{2}$ . Підставимо у друге: $y^{2} + 15 - x^{2} = 10 \Rightarrow y^{2} = x^{2} - 5$ . Тоді $(x^{2} - 5) + x x^{2} - 5 = 10$ (припустимо $y > 0$ ). Це не лінійне.
- Спробуємо підстановку $u = x, v = y$ . Система симетрична? Ні.
- Розв'язок $(3; 2)$ єдиний цілий. Перевіримо чи немає інших дійсних. Графічно гіперболи перетинаються в одній точці у першому квадранті. В іншому квадранті $x, y$

Відповідь:

а) $(13; 3)$ ; б) $(3; 2)$ .

Розбір зрозумілий?