Дано квадратичну функцію f(x)=x2−6x+5. Потрібно побудувати її графік (параболу) і за допомогою цього графіка визначити проміжки, на яких функція зростає, та проміжки, на яких вона спадає.
Розв’язання
Знайдемо координати вершини параболі: a=1, b=−6. Координата xv=−2⋅1−6=3. Точка вершини (3;f(3)). Підставимо x=3 у формулу: f(3)=32−6⋅3+5=9−18+5=−4. Вершина V(3;−4).
Знайдемо точки перетину з віссю Oy (при x=0): f(0)=02−6⋅0+5=5. Точка (0;5).
Знайдемо корені рівняння x2−6x+5=0: D=(−6)2−4⋅1⋅5=36−20=16. x1,2=26±4. Отримуємо x1=1, x2=5. Точки (1;0) і (5;0).
Будуємо параболу з вершиною в (3;−4), що проходить через точки (0;5), (1;0) та (5;0).
§ 21. Основні правила комбіна- торикиЗавдання 1155с. 224
Побудова графіка функції та аналіз монотонності
Умова
Дано квадратичну функцію f(x)=x2−6x+5. Потрібно побудувати її графік (параболу) і за допомогою цього графіка визначити проміжки, на яких функція зростає, та проміжки, на яких вона спадає.
Що треба знати
Графіком квадратичної функції y=ax2+bx+c є парабола. Вершина параболі знаходиться в точці xv=−2ab. Якщо a>0, то парабола розкривається гілками вгору: функція спадає на проміжку (−∞;xv] і зростає на проміжку [xv;+∞).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди координати вершини параболі, щоб дізнатися точку перелому монотонності. Обчисли значення функції в точках перетину з віссю Ox (корені рівняння) та з віссю Oy.
Розв’язання крок за кроком
Знайдемо координати вершини параболі: a=1, b=−6. Координата xv=−2⋅1−6=3. Точка вершини (3;f(3)). Підставимо x=3 у формулу: f(3)=32−6⋅3+5=9−18+5=−4. Вершина V(3;−4).
Знайдемо точки перетину з віссю Oy (при x=0): f(0)=02−6⋅0+5=5. Точка (0;5).
Знайдемо корені рівняння x2−6x+5=0: D=(−6)2−4⋅1⋅5=36−20=16. x1,2=26±4. Отримуємо x1=1, x2=5. Точки (1;0) і (5;0).
Будуємо параболу з вершиною в (3;−4), що проходить через точки (0;5), (1;0) та (5;0).
