Сторінка 224

Розв’язання

1. а) $10!:5!=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10):(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)$. Скорочуємо $5!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10=30240$.

2. б) $13!:10!=(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13):(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 10)$. Скорочуємо $10!$. Залишається $11\cdot 12\cdot 13=1716$.

3. в) $20!:25!=(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 20):(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 20\cdot 21\cdot 22\cdot 23\cdot 24\cdot 25)$. Знаменник більший, тому скорочуємо $20!$ і отримуємо дріб $\frac{1}{21\cdot 22\cdot 23\cdot 24\cdot 25}=\frac{1}{6577200}$.

4. г) $100!:97!=(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 97\cdot 98\cdot 99\cdot 100):(1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 97)$. Скорочуємо $97!$. Залишається $98\cdot 99\cdot 100=970200$.

Розв’язання

1. а) $n!:(n-1)=\frac{n\cdot (n-1)!}{n-1}$. Скорочуємо $(n-1)!$ у чисельнику і знаменнику (якщо б там був факторіал), але тут в знаменнику просто число. Отже, $n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!$, що не допомагає безпосередньо скоротити на $(n-1)$ у вигляді факторіала. Правильніше: $n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$. Тоді $\frac{n!}{n-1}=\frac{(n-1)!\cdot n}{n-1}=n\cdot (n-2)!$. Але зазвичай у таких завданнях очікується, що в умові був би $(n-1)!$ у знаменнику. Перевіримо умову: $n!:(n-1)$. Це не факторіал, а звичайне число. Тоді відповідь залишається як дріб $\frac{n!}{n-1}$ або розкривається як $n\cdot (n-2)!$. Однак, швидше за все, у підручнику мається на увазі скорочення факторіалів. Якщо це просто ділення числа на число: $\frac{n!}{n-1}=n\cdot (n-2)!$.

2. б) $(n-1)!:n!=\frac{(n-1)!}{n\cdot (n-1)!}$. Скорочуємо $(n-1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $\frac{1}{n}$.

3. в) $(n+1)!:(n-1)!=\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}$. Скорочуємо $(n-1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $(n+1)\cdot n$.

Розв’язання

1. Позначимо виручку у лютому як $x$ (тис. грн).

2. Виручка у січні: $x+49,8$.

3. Виручка у березні: $x-178,92$.

4. Складаємо рівняння для загальної виручки: $(x+49,8)+x+(x-178,92)=700,46$.

5. Спрощуємо рівняння: $3x-129,12=700,46$. Додаємо $129,12$ до обох частин: $3x=829,58$.

6. Знаходимо $x$: $x=829,58:3\approx 276,53$ (тис. грн).

7. Обчислюємо виручку у березні: $276,53-178,92=97,61$ (тис. грн).

Розв’язання

1. Знайдемо координати вершини параболі: $a=1$, $b=-6$. Координата $x_v=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3$. Точка вершини $(3;f(3))$. Підставимо $x=3$ у формулу: $f(3)=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4$. Вершина $V(3;-4)$.

2. Знайдемо точки перетину з віссю $Oy$ (при $x=0$): $f(0)=0^2-6\cdot 0+5=5$. Точка $(0;5)$.

3. Знайдемо корені рівняння $x^2-6x+5=0$: $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$. $x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$. Отримуємо $x_1=1$, $x_2=5$. Точки $(1;0)$ і $(5;0)$.

4. Будуємо параболу з вершиною в $(3;-4)$, що проходить через точки $(0;5)$, $(1;0)$ та $(5;0)$.

Розв’язання

1. а) Перемножуємо коефіцієнти: $2\cdot (-\frac{1}{2})=-1$. Змінні: $a^3\cdot a^1\cdot a^2=a^{3+1+2}=a^6$; $b^1\cdot b^1\cdot b^1=b^3$. Відповідь: $-a^6{b}^3$.

2. б) Спочатку $(a^2{b}^2{)}^3=a^6{b}^6$. Перемножуємо коефіцієнти: $(-\frac{2}{3})\cdot 1\cdot \frac{9}{4}=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}$. Змінні: $a^2\cdot a^1\cdot a^6=a^9$; $b^1\cdot b^2\cdot b^6=b^9$. Відповідь: $-\frac{3}{2}{a}^9{b}^9$.

3. в) Перемножуємо коефіцієнти: $3\cdot (-2)=-6$. Змінні: $a^1$; $k^2\cdot k^3\cdot k^3=k^{2+3+3}=k^8$; $x^3$. Відповідь: $-6a{k}^8{x}^3$.

4. г) Перетворимо змішане число: $-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$. Перемножуємо коефіцієнти: $(-\frac{7}{3})\cdot \frac{1}{7}\cdot 6=-1\cdot 6=-6$. Змінні: $a^3\cdot a^1\cdot a^1=a^5$; $c^2\cdot c^2\cdot c^1=c^5$; $b^1$. Відповідь: $-6a^{5}b{c}^5$.