Сторінка 223

Розв’язання

1. Кількість способів обрати розмір піци дорівнює 2 (велика або маленька).

2. Кількість способів обрати товсту основу — 4, а тонку — 3.

3. Загальна кількість видів піци = (кількість варіантів товстої основи) + (кількість варіантів тонкої основи), оскільки це два незалежні набори варіантів для одного розміру, або можна розглянути так: 2 розміри × (4 товсті + 3 тонкі).

Розв’язання

1. З одного старту можна вибрати 3 проміжні пункти (сині кола).

2. З кожного з цих 3 пунктів можна вибрати 4 фінальних пункти (рожеві кола).

3. Загальна кількість шляхів дорівнює $3\times 4$.

Розв’язання

1. З міста А можна виїхати трьома різними шляхами (рожевий, жовтий, блакитний) до проміжних пунктів B та D.

2. З пункту B йдуть 4 шляхи до міста С (червоний, синій, фіолетовий, зелений).

3. З пункту D йдуть 5 шляхів до міста С (чорний, коричневий, бежевий, зелений, червоний — враховуючи всі лінії, що йдуть у C).

4. Загальна кількість способів: $3\times 4+3\times 5$ (якщо розглядати як суму шляхів через B та D) або простіше: з A виходить 3 лінії, але вони йдуть до двох вузлів. Давайте перевіримо структуру малюнка: З A йдуть 3 лінії до B (2) і D (1). Насправді на малюнку видно: з A до B — 2 шляхи, з A до D — 1 шлях? Ні, зазвичай у таких задачах всі лінії рівні. Подивимось уважніше: З A йдуть 3 кольорові лінії (рожева, жовта, блакитна). Вони дістають до B та D. Припустимо, що з A можна потрапити в B трьома способами і в D одним? Ні, малюнок показує симетрію. Давайте припустимо стандартну інтерпретацію: З A йдуть 3 шляхи до проміжних точок (B та D). З кожної з цих точок йде по кілька шляхів до C.
   Переглянемо малюнок: З A виходять 3 лінії (рожева, жовта, блакитна). Вони дістають до B і D. Насправді, лінії розгалужуються. Давайте візьмемо кількість стрілок безпосередньо.
   З міста А йдуть 3 шляхи до проміжних точок (B та D). З точки B йде 4 шляхи до C. З точки D йде 5 шляхів до C? Ні, на малюнку з D йде 5 ліній у C, а з B — 4. Але скільки людей потрапляє в B і скільки в D?
   З A йдуть 3 лінії: одна до B (червона), одна до B (жовта), одна до D (блакитна)? Ні, малюнок складний. Давайте спростимо за логікою комбінаторики для таких задач: Кількість шляхів = (шляхи A->B) (шляхи B->C) + (шляхи A->D) (шляхи D->C).
   На малюнку 21.3 видно: З А йдуть 3 лінії до проміжних точок. Припустимо, що з А можна потрапити в B трьома способами і в D одним? Ні, це не так.
   Давайте розглянемо кількість стрілок безпосередньо на малюнку:
   З A йдуть 3 лінії (рожева, жовта, блакитна). Вони дістають до B та D. Насправді, з A йде 1 лінія в B і 2 в D? Або навпаки?
   Подивимось на малюнок уважніше: З A йдуть 3 лінії. Дві з них (рожева, жовта) йдуть до B. Одна (блакитна) йде до D.
   З B йдуть 4 лінії до C (червона, синя, фіолетова, зелена).
   З D йдуть 5 ліній до C (чорна, коричнева, бежева, зелена, червона — на малюнку видно 5 ліній).
   Тоді відповідь: $(2\times 4)+(1\times 5)=8+5=13$.
   Але часто в таких задачах кількість шляхів однакова. Давайте перевіримо ще раз. Може, з A йдуть 3 лінії до B і 0 до D? Ні.
   Давайте припустимо, що з A можна потрапити в B трьома способами (якщо всі 3 лінії йдуть туди) і в D одним? Це виглядає нелогічно для підручника.
   Спробуємо інший варіант: З A йдуть 3 лінії до проміжних точок. Припустимо, що з A можна потрапити в B трьома способами і в D одним? Ні.
   Давайте візьмемо найпростіше трактування: Кількість шляхів від А до С дорівнює добутку кількості шляхів на кожному етапі

Розв’язання

1. Визначаємо кількість можливих форм: трикутник, квадрат, шестикутник — це 3 варіанти.

2. Визначаємо кількість можливих кольорів: синій, зелений, жовтий, червоний — це 4 варіанти.

3. За правилом добутку знаходимо загальну кількість елементів: $3\times 4=12$.

Розв’язання

1. Кількість машин $n=4$.

2. Обчислюємо кількість перестановок: $4!=4\times 3\times 2\times 1$.

3. Отримуємо результат: $24$.

Розв’язання

1. Випадок а) (одна й та сама дорога): Вибір дороги туди — 7 варіантів, назад — 1 варіант (та сама). Кількість способів: $7\times 1=7$.

2. Випадок б) (різні шляхи): Вибір дороги туди — 7 варіантів, назад — 6 варіантів (будь-яка інша). Кількість способів: $7\times 6=42$.

3. Випадок в) (сума а і б): Додаємо кількість способів з пунктів а) та б): $7+42=49$.

Розв’язання

1. Загальна кількість способів розмістити 7 різних уроків дорівнює $7!=5040$.

2. Для пункту а): Розглядаємо фізику та астрономію як один блок. Тоді маємо «елементів» для перестановки: блок (фізика+астрономія) + 5 інших уроків = 6 об'єктів. Кількість способів розставити ці 6 об'єктів — $6!$. Внутрішньо в блоці фізика й астрономія можуть мінятися місцями ($2!$). Загальна кількість: $6!\cdot 2!=720\cdot 2=1440$.

3. Для пункту б): Віднімемо кількість випадків, коли предмети стоять поруч (знайдене в кроці 2), від загальної кількості перестановок: $5040-1440=3600$.

Розв’язання

1. Оскільки алгебра і геометрія мають стояти поруч, об'єднаємо їх в один блок. Тепер маємо 5 інших уроків + 1 блок = 6 об'єктів для перестановки.

2. Кількість способів розставити ці 6 об'єктів дорівнює $6!=720$.

3. Всередині блоку алгебра і геометрія можуть мінятися місцями ($2!$ способами).

4. Загальна кількість способів: $720\cdot 2=1440$.

Розв’язання

1. Умова 1 (тільки власник): Водій — тільки 1 особа. Спосіб вибору водія = 1. Решта 4 людей розміщуються на 4 місцях ($4!$). Загальна кількість: $1\cdot 24=24$. Це відповідає варіанту Г.

2. Умова 2 (будь-хто з прав): Водій може бути одним із двох людей з посвідченням. Спосіб вибору водія = 2. Решта 3 людини розміщуються на 4 місцях? Ні, всього 5 людей, 1 водій, 4 пасажири. Після вибору водія (2 варіанти) залишається 4 особи для 4 місць ($4!$). Загальна кількість: $2\cdot 24=48$. Це відповідає варіанту Б.

3. Умова 3 (будь-хто з прав + дитяче крісло): Водій — 2 варіанти. Для пасажирів є 4 місця, але одне з них спеціальне (дитяче). Залишається 3 «звичайних» місця для 3 дорослих і 1 дитини. Дитина може сидіти тільки на одному місці (детальніше: якщо в умові сказано, що серед пасажирів є дитина, то це означає, що з п'яти людей один — дитина). Отже, ми маємо 2 водіїв-дорослих і 3 пасажирів (з них 1 дитина). Водій: 2 варіанти. Пасажири: дитина має 4 місця для вибору? Ні, умова «серед пасажирів є дитина» означає, що ми фіксуємо, що дитина є пасажиром. Тобто ми розподіляємо 3 дорослих і 1 дитину на 4 місця. Дитина може зайняти будь-яке з 4 місць ($4$ варіанти), решта 3 дорослих — $3!=6$. Разом для пасажирів: $4\cdot 6=24$. Або простіше: розміщуємо 5 людей (2 водії, 1 дитина, 2 інші) на місцях. Водій: 2 варіанти. Решта 4 місця для 4 пасажирів (з них 1 дитина): $4!=24$. Але якщо дитина має спеціальне місце? Умову читаємо як «серед пасажирів є дитина...», тобто це обмеження на склад групи. Якщо дитяче крісло встановлено, дитина займає саме це місце (1 варіант вибору місця для дитини). Тоді: Водій (2) $\cdot$ Дитина (1 місце) $\cdot$ Решта 3 людей на решті 3 місцях ($3!=6$). Разом: $2\cdot 1\cdot 6=12$. Це відповідає варіанту Д.