Сторінка 222

Розв’язання

1. Для першого місця на нитці можна взяти будь-який із 8 намистин (8 варіантів).

2. Для другого місця залишається 7 намистин (7 варіантів).

3. Продовжуючи так, для останнього місця залишиться лише 1 намистин.

4. За правилом добутку кількість способів дорівнює добутку кількості варіантів на кожному кроці: $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$.

Розв’язання

1. Перший гравець може зіграти з будь-яким із 7 інших друзів (7 партій).

2. Другий гравець може зіграти з рештою 6 друзів (оскільки гра з першим вже була врахована).

3. Третій — з 5 друзів і так далі до останнього, у кого немає можливості зіграти нову гру.

4. Сума партій: $7+6+5+4+3+2+1=\frac{8\cdot 7}{2}$.

Розв’язання

1. Варіант а) без повторень:
   - Перший розряд (сотні): можна вибрати будь-яку цифру крім 0 (цифри $1,2,3,4,5$), тобто 5 варіантів.
   - Другий розряд (десятки): можна вибрати будь-яку з решти 5 цифр ($6-1=5$).
   - Третій розряд (одиниці): можна вибрати будь-яку з решти 4 цифр.
   - За правилом добутку: $5\cdot 5\cdot 4=100$.

2. Варіант б) з повтореннями:
   - Перший розряд (сотні): 5 варіантів ($1,2,3,4,5$).
   - Другий розряд: можна вибрати будь-яку з 6 цифр.
   - Третій розряд: також можна вибрати будь-яку з 6 цифр.
   - За правилом добутку: $5\cdot 6\cdot 6=180$.

Розв’язання

1. Загальна кількість трицифрових чисел без обмежень на парність (цифри не повторюються): Перша цифра має $5$ варіантів ($1,2,3,4,5$), друга — $5$, третя — $4$. Разом: $5\cdot 5\cdot 4=100$.

2. а) Непарні числа: Остання цифра може бути $1,3,5$ (3 варіанти). Перша цифра не може бути $0$, тому з $5$ доступних цифр ($0,1,2,3,4,5$) віднімаємо обрану останню та сам нуль, якщо він ще не використаний. Простіше: фіксуємо останню цифру (3 варіанти). Першу цифру можна обрати з решти $4$ непарних плюс парних ($0$ виключається), тобто $5-1=4$ варіантів? Ні, краще так: Остання — 3 варіанти. Перша — не може бути $0$, тому з решти $5$ цифр віднімаємо $0$, залишається $4$. Друга — з решти $4$ цифр. Разом: $3\cdot 4\cdot 4=48$.
   Перевірка: Непарні цифри: $\{1,3,5\}$. Парні: $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $1$: перша може бути $2,3,4,5$ (4 вар), друга — решта. Складніше. Давайте рахувати за загальним правилом з урахуванням нуля.
   Кращий спосіб: Загальна кількість чисел без обмежень на парність = $100$.
   Парні числа: Остання цифра $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $0$: перша $5$ варіантів ($\mathrm{1..5}$), друга $4$. Разом $5\cdot 4=20$.
   Якщо остання $2$ або $4$: $2$ варіанти. Перша цифра не може бути $0$ і не може дорівнювати останній. Доступні цифри для першої: $\{1,3,5\}$ (3 вар) + інший парний ($1$ вар). Разом $4$. Друга: решта $4$.
   Отже, для фіксованої непарної останньої: $4\cdot 4=16$. Для двох таких випадків: $2\cdot 16=32$.
   Всього парних: $20+32=52$.
   Непарні числа: Загальна ($100$) - Парні ($52$) = $48$.
   Або безпосередньо: Остання $\{1,3,5\}$ (3 вар). Перша не може бути $0$. З решти $5$ цифр віднімаємо обрану останню та $0$, залишається $4$. Друга — з решти $4$. Разом: $3\cdot 4\cdot 4=48$.

3. б) Парні числа: Остання цифра $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $0$: перша цифра може бути будь-якою з $\{1,2,3,4,5\}$ (5 варіантів), друга — з решти $4$ ($4\cdot 5=20$).
   Якщо остання $2$ або $4$: $2$ варіанти. Перша цифра не може бути $0$ і не дорівнює останній. Доступні для першої: $\{1,3,5\}$ (3 непарні) + інший парний ($1$). Разом $4$. Друга — з решти $4$.
   Кількість: $2\cdot (4\cdot 4)=32$.
   Всього парних: $20+32=52$.

Розв’язання

1. Загальна кількість чотирицифрових чисел без обмежень на парність: Перша цифра має $5$ варіантів ($\mathrm{1..5}$). Друга — $5$. Третя — $4$. Четверта — $3$. Разом: $5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$.

2. а) Парні числа: Остання цифра $\{0,2,4\}$.
   Випадок 1: Остання $0$. Перша цифра має $5$ варіантів ($\mathrm{1..5}$). Друга — $4$, Третя — $3$. Разом: $5\cdot 4\cdot 3=60$.
   Випадок 2: Остання $2$ або $4$ (2 варіанти). Перша цифра не може бути $0$ і не дорівнює останній. Доступні для першої: $\{1,3,5\}$ (3) + інший парний ($1$). Разом $4$. Друга — з решти $4$, Третя — з решти $3$.
   Кількість: $2\cdot (4\cdot 4\cdot 3)=96$.
   Всього парних: $60+96=156$.

3. б) Непарні числа: Остання цифра $\{1,3,5\}$ (3 варіанти). Перша цифра не може бути $0$ і не дорівнює останній. Доступні для першої: $\{2,4\}$ (2) + дві інші непарні ($2$). Разом $4$. Друга — з решти $4$, Третя — з решти $3$.
   Кількість: $3\cdot (4\cdot 4\cdot 3)=144$.

Розв’язання

1. Перша цифра (десятки тисяч): не може бути $0$. Доступні цифри: $\{1,3,5,7\}$ — всього $4$ варіанти.

2. Друга цифра (тисячі): може бути будь-якою з решти $4$ цифр ($5-1=4$).

3. Третя цифра (сотні): з решти $3$ цифр.

4. Четверта цифра (десятки): з решти $2$ цифр.

5. П'ята цифра (одиниці): залишається $1$ цифра.

6. Загальна кількість: $4\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=96$.

Розв’язання

1. Перша страва може бути 3 варіантами ($A,B,C$).

2. Друга страва може бути 3 варіантами ($a,b,c$).

3. Третя страва може бути 2 варіантами ($x,y$).

4. Загальна кількість наборів дорівнює добутку: $3\times 3\times 2=18$.

Розв’язання

1. Кількість варіантів перших страв — 3 ($A,B,C$).

2. Кількість варіантів других страв — 3 ($a,b,c$).

3. Загальна кількість наборів із двох страв дорівнює: $3\times 3=9$.

Розв’язання

1. Для першого речення є 15 варіантів вибору смайлика.

2. Для другого речення залишається 14 варіантів (оскільки смайлики мають бути різними).

3. Для третього речення залишається 13 варіантів.

4. Загальна кількість способів дорівнює добутку: $15\times 14\times 13=2730$.

Розв’язання

1. Щоб привітати двох подруг, треба вибрати 2 листівки із 10-ти. Оскільки порядок дарування не важливий (просто набір), використовуємо формулу комбінацій: $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}=45$.

2. Для другого випадку фіксуємо одну листівку для бабусі. Залишається 9 листівок, з яких треба вибрати 2 для подруг: $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36$.

Розв’язання

1. Кількість способів вибрати конверт — 3.

2. Кількість способів вибрати марку — 2.

3. Кількість способів вибрати листівку — 4.

4. Загальна кількість способів оформлення привітання: $3\cdot 2\cdot 4=24$.