Завдання 1153, § 21. Основні правила комбіна- торики — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1153

Спрощення виразів з факторіалами

а) $n! : (n - 1)$ ; б) $(n - 1)! : n!$ ; в) $(n + 1)! : (n - 1)!$ .

Розв’язання

а) $n! : (n - 1) = \frac{n \cdot ( n - 1 )!}{n - 1}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику (якщо б там був факторіал), але тут в знаменнику просто число. Отже, $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!$ , що не допомагає безпосередньо скоротити на $(n - 1)$ у вигляді факторіала. Правильніше: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n - 1) \cdot n$ . Тоді $\frac{n !}{n - 1} = \frac{( n - 1 )! \cdot n}{n - 1} = n \cdot (n - 2)!$ . Але зазвичай у таких завданнях очікується, що в умові був би $(n - 1)!$ у знаменнику. Перевіримо умову: $n! : (n - 1)$ . Це не факторіал, а звичайне число. Тоді відповідь залишається як дріб $\frac{n !}{n - 1}$ або розкривається як $n \cdot (n - 2)!$ . Однак, швидше за все, у підручнику мається на увазі скорочення факторіалів. Якщо це просто ділення числа на число: $\frac{n !}{n - 1} = n \cdot (n - 2)!$ .
б) $(n - 1)! : n! = \frac{( n - 1 )!}{n \cdot ( n - 1 )!}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $\frac{1}{n}$ .
в) $(n + 1)! : (n - 1)! = \frac{( n + 1 ) \cdot n \cdot ( n - 1 )!}{( n - 1 )!}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $(n + 1) \cdot n$ .

Відповідь:

а) $\frac{n !}{n - 1}$ (або $n (n - 2)!$ ); б) $\frac{1}{n}$ ; в) $n (n + 1)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 21. Основні правила комбіна- торики Завдання 1153 с. 224

Спрощення виразів з факторіалами

Умова

а) $n! : (n - 1)$ ; б) $(n - 1)! : n!$ ; в) $(n + 1)! : (n - 1)!$ .

Що треба знати

Формула факторіала визначає, що $n! = n \cdot (n - 1)!$ , а також $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!$ . Використовуючи ці властивості, можна спростити дріб, скоротивши однакові факторіали.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Перетворіть чисельник або знаменник так, щоб там з'явився факторіал, який є в іншій частині дробу, і скоротіть їх.

Розв’язання крок за кроком

а) $n! : (n - 1) = \frac{n \cdot ( n - 1 )!}{n - 1}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику (якщо б там був факторіал), але тут в знаменнику просто число. Отже, $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!$ , що не допомагає безпосередньо скоротити на $(n - 1)$ у вигляді факторіала. Правильніше: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n - 1) \cdot n$ . Тоді $\frac{n !}{n - 1} = \frac{( n - 1 )! \cdot n}{n - 1} = n \cdot (n - 2)!$ . Але зазвичай у таких завданнях очікується, що в умові був би $(n - 1)!$ у знаменнику. Перевіримо умову: $n! : (n - 1)$ . Це не факторіал, а звичайне число. Тоді відповідь залишається як дріб $\frac{n !}{n - 1}$ або розкривається як $n \cdot (n - 2)!$ . Однак, швидше за все, у підручнику мається на увазі скорочення факторіалів. Якщо це просто ділення числа на число: $\frac{n !}{n - 1} = n \cdot (n - 2)!$ .
б) $(n - 1)! : n! = \frac{( n - 1 )!}{n \cdot ( n - 1 )!}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $\frac{1}{n}$ .
в) $(n + 1)! : (n - 1)! = \frac{( n + 1 ) \cdot n \cdot ( n - 1 )!}{( n - 1 )!}$ . Скорочуємо $(n - 1)!$ у чисельнику і знаменнику. Залишається $(n + 1) \cdot n$ .

Відповідь:

а) $\frac{n !}{n - 1}$ (або $n (n - 2)!$ ); б) $\frac{1}{n}$ ; в) $n (n + 1)$ .

Розбір зрозумілий?