Завдання 1151, § 21. Основні правила комбіна- торики — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1151

Розміщення людей в автомобілі з водієм

5 людей, із яких лише двоє мають відповідні посвідчення водія, сідають в автомобіль (1 місце водія + 4 пасажирських місця). На місці водія має бути особа з посвідченням. Потрібно встановити відповідність між умовами (1–3) та кількістю способів (А–Д):
1) тільки власник машини буде сидіти за кермом;
2) кожен з тих, хто має права, може сидіти за кермом;
3) кожен з тих, хто має права, може сидіти за кермом і серед пасажирів є дитина для якої встановлено дитяче крісло.

Розв’язання

Умова 1 (тільки власник): Водій — тільки 1 особа. Спосіб вибору водія = 1. Решта 4 людей розміщуються на 4 місцях ( $4!$ ). Загальна кількість: $1 \cdot 24 = 24$ . Це відповідає варіанту Г.
Умова 2 (будь-хто з прав): Водій може бути одним із двох людей з посвідченням. Спосіб вибору водія = 2. Решта 3 людини розміщуються на 4 місцях? Ні, всього 5 людей, 1 водій, 4 пасажири. Після вибору водія (2 варіанти) залишається 4 особи для 4 місць ( $4!$ ). Загальна кількість: $2 \cdot 24 = 48$ . Це відповідає варіанту Б.
Умова 3 (будь-хто з прав + дитяче крісло): Водій — 2 варіанти. Для пасажирів є 4 місця, але одне з них спеціальне (дитяче). Залишається 3 «звичайних» місця для 3 дорослих і 1 дитини. Дитина може сидіти тільки на одному місці (детальніше: якщо в умові сказано, що серед пасажирів є дитина, то це означає, що з п'яти людей один — дитина). Отже, ми маємо 2 водіїв-дорослих і 3 пасажирів (з них 1 дитина). Водій: 2 варіанти. Пасажири: дитина має 4 місця для вибору? Ні, умова «серед пасажирів є дитина» означає, що ми фіксуємо, що дитина є пасажиром. Тобто ми розподіляємо 3 дорослих і 1 дитину на 4 місця. Дитина може зайняти будь-яке з 4 місць ( $4$ варіанти), решта 3 дорослих — $3! = 6$ . Разом для пасажирів: $4 \cdot 6 = 24$ . Або простіше: розміщуємо 5 людей (2 водії, 1 дитина, 2 інші) на місцях. Водій: 2 варіанти. Решта 4 місця для 4 пасажирів (з них 1 дитина): $4! = 24$ . Але якщо дитина має спеціальне місце? Умову читаємо як «серед пасажирів є дитина...», тобто це обмеження на склад групи. Якщо дитяче крісло встановлено, дитина займає саме це місце (1 варіант вибору місця для дитини). Тоді: Водій (2) $\cdot$ Дитина (1 місце) $\cdot$ Решта 3 людей на решті 3 місцях ( $3! = 6$ ). Разом: $2 \cdot 1 \cdot 6 = 12$ . Це відповідає варіанту Д.

Відповідь:

1 — Г (24); 2 — Б (48); 3 — Д (12).

Розбір зрозумілий?