У вівторок за розкладом в 9-Б класі є 7 різних уроків, серед яких — фізика й астрономія. Потрібно знайти кількість способів скласти розклад так, щоб: а) фізика й астрономія стояли поруч; б) фізика й астрономія не стояли поруч.
Розв’язання
Загальна кількість способів розмістити 7 різних уроків дорівнює 7!=5040.
Для пункту а): Розглядаємо фізику та астрономію як один блок. Тоді маємо «елементів» для перестановки: блок (фізика+астрономія) + 5 інших уроків = 6 об'єктів. Кількість способів розставити ці 6 об'єктів — 6!. Внутрішньо в блоці фізика й астрономія можуть мінятися місцями (2!). Загальна кількість: 6!⋅2!=720⋅2=1440.
Для пункту б): Віднімемо кількість випадків, коли предмети стоять поруч (знайдене в кроці 2), від загальної кількості перестановок: 5040−1440=3600.
Відповідь:
а) 1440 способів; б) 3600 способів.
Розбір зрозумілий?
§ 21. Основні правила комбіна- торикиЗавдання 1149с. 223
Розклад уроків з фізикою та астрономією
Умова
У вівторок за розкладом в 9-Б класі є 7 різних уроків, серед яких — фізика й астрономія. Потрібно знайти кількість способів скласти розклад так, щоб: а) фізика й астрономія стояли поруч; б) фізика й астрономія не стояли поруч.
Що треба знати
Щоб обчислити кількість перестановок з обмеженням на сусідство елементів, можна розглядати ці елементи як один блок (метод «пакета»). Загалом для n елементів кількість перестановок дорівнює n!.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для пункту а) згрунтуйте фізику та астрономію в одну групу, яка має 2 внутрішні варіанти розташування. Для пункту б) відніміть кількість випадків із пункту а) від загальної кількості перестановок усіх 7 уроків.
Розв’язання крок за кроком
Загальна кількість способів розмістити 7 різних уроків дорівнює 7!=5040.
Для пункту а): Розглядаємо фізику та астрономію як один блок. Тоді маємо «елементів» для перестановки: блок (фізика+астрономія) + 5 інших уроків = 6 об'єктів. Кількість способів розставити ці 6 об'єктів — 6!. Внутрішньо в блоці фізика й астрономія можуть мінятися місцями (2!). Загальна кількість: 6!⋅2!=720⋅2=1440.
Для пункту б): Віднімемо кількість випадків, коли предмети стоять поруч (знайдене в кроці 2), від загальної кількості перестановок: 5040−1440=3600.
