Завдання 1135, § 21. Основні правила комбіна- торики

Розв’язання крок за кроком

1. Загальна кількість трицифрових чисел без обмежень на парність (цифри не повторюються): Перша цифра має $5$ варіантів ($1,2,3,4,5$), друга — $5$, третя — $4$. Разом: $5\cdot 5\cdot 4=100$.

2. а) Непарні числа: Остання цифра може бути $1,3,5$ (3 варіанти). Перша цифра не може бути $0$, тому з $5$ доступних цифр ($0,1,2,3,4,5$) віднімаємо обрану останню та сам нуль, якщо він ще не використаний. Простіше: фіксуємо останню цифру (3 варіанти). Першу цифру можна обрати з решти $4$ непарних плюс парних ($0$ виключається), тобто $5-1=4$ варіантів? Ні, краще так: Остання — 3 варіанти. Перша — не може бути $0$, тому з решти $5$ цифр віднімаємо $0$, залишається $4$. Друга — з решти $4$ цифр. Разом: $3\cdot 4\cdot 4=48$.
   Перевірка: Непарні цифри: $\{1,3,5\}$. Парні: $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $1$: перша може бути $2,3,4,5$ (4 вар), друга — решта. Складніше. Давайте рахувати за загальним правилом з урахуванням нуля.
   Кращий спосіб: Загальна кількість чисел без обмежень на парність = $100$.
   Парні числа: Остання цифра $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $0$: перша $5$ варіантів ($\mathrm{1..5}$), друга $4$. Разом $5\cdot 4=20$.
   Якщо остання $2$ або $4$: $2$ варіанти. Перша цифра не може бути $0$ і не може дорівнювати останній. Доступні цифри для першої: $\{1,3,5\}$ (3 вар) + інший парний ($1$ вар). Разом $4$. Друга: решта $4$.
   Отже, для фіксованої непарної останньої: $4\cdot 4=16$. Для двох таких випадків: $2\cdot 16=32$.
   Всього парних: $20+32=52$.
   Непарні числа: Загальна ($100$) - Парні ($52$) = $48$.
   Або безпосередньо: Остання $\{1,3,5\}$ (3 вар). Перша не може бути $0$. З решти $5$ цифр віднімаємо обрану останню та $0$, залишається $4$. Друга — з решти $4$. Разом: $3\cdot 4\cdot 4=48$.

3. б) Парні числа: Остання цифра $\{0,2,4\}$.
   Якщо остання $0$: перша цифра може бути будь-якою з $\{1,2,3,4,5\}$ (5 варіантів), друга — з решти $4$ ($4\cdot 5=20$).
   Якщо остання $2$ або $4$: $2$ варіанти. Перша цифра не може бути $0$ і не дорівнює останній. Доступні для першої: $\{1,3,5\}$ (3 непарні) + інший парний ($1$). Разом $4$. Друга — з решти $4$.
   Кількість: $2\cdot (4\cdot 4)=32$.
   Всього парних: $20+32=52$.