Завдання 1072, § 19. Прості і складні відсотки — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1072

Зростання виробництва за два роки

Виробництво зросло перший рік на $p %$ , другий — на $10%$ більше порівняно з попереднім (тобто загальне зростання другого року від початку становило $p + 10%$ ). За два роки загальне зростання склало $48, 59%$ . Знайти значення $p$ .

Розв’язання

Позначимо початкове виробництво через $V$ . Після першого року виробництво стане $V \cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
Другий рік зростання становить на $10%$ більше, ніж у попередньому році. Це означає, що відношення виробництва другого року до першого дорівнює $\frac{p + 10}{100} + 1 = \frac{p + 110}{100}$ .
Запишемо вираз для виробництва після другого року: $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100})$ .
За умовою загальне зростання за два роки становить $48, 59%$ , тобто $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{48 , 59}{100}) = 1, 4859 V$ .
Складемо рівняння: $(1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100}) = 1, 4859$ . Розкриємо дужки та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $p$ : $\frac{( 100 + p ) ( p + 110 )}{10000} = 1, 4859 \Rightarrow p^{2} + 210 p + 11000 = 14859 \Rightarrow p^{2} + 210 p - 3859 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 21 0^{2} - 4 \cdot (- 3859) = 44100 + 15436 = 59536$ . $D = 244$ . $p = \frac{- 210 \pm 244}{2}$ . Отримуємо корені: $p_{1} = 17$ , $p_{2} = - 227$ . Оскільки відсоток зростання має бути додатним, залишаємо $p = 17$ .

Відповідь:

Зростання за перший рік становить $17%$ .

Розбір зрозумілий?

§ 19. Прості і складні відсотки Завдання 1072 с. 207

Зростання виробництва за два роки

Умова

Що треба знати

Якщо величина збільшується на $a %$ , то нова величина становить $(1 + \frac{a}{100})$ від старої. Загальний коефіцієнт зростання за два роки дорівнює добутку коефіцієнтів зростання кожного року.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Познач початкову величину як $V_{0}$ . Вираз через неї кількість після першого року, потім після другого року. Складіть рівняння, де сумарне зростання дорівнює $48, 59%$ (тобто фінальна сума дорівнює $1, 4859 V_{0}$ ).

Розв’язання крок за кроком

Позначимо початкове виробництво через $V$ . Після першого року виробництво стане $V \cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
Другий рік зростання становить на $10%$ більше, ніж у попередньому році. Це означає, що відношення виробництва другого року до першого дорівнює $\frac{p + 10}{100} + 1 = \frac{p + 110}{100}$ .
Запишемо вираз для виробництва після другого року: $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100})$ .
За умовою загальне зростання за два роки становить $48, 59%$ , тобто $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{48 , 59}{100}) = 1, 4859 V$ .
Складемо рівняння: $(1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100}) = 1, 4859$ . Розкриємо дужки та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $p$ : $\frac{( 100 + p ) ( p + 110 )}{10000} = 1, 4859 \Rightarrow p^{2} + 210 p + 11000 = 14859 \Rightarrow p^{2} + 210 p - 3859 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 21 0^{2} - 4 \cdot (- 3859) = 44100 + 15436 = 59536$ . $D = 244$ . $p = \frac{- 210 \pm 244}{2}$ . Отримуємо корені: $p_{1} = 17$ , $p_{2} = - 227$ . Оскільки відсоток зростання має бути додатним, залишаємо $p = 17$ .

Відповідь:

Зростання за перший рік становить $17%$ .

Розбір зрозумілий?