ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 207

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1071–1073 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 19. Прості і складні відсотки

Завдання 1071

Кругова діаграма волонтерства

Учні обирають один із 4 видів волонтерства (мал. 19.8). Відомо, що прибирання парків обирає $35 %$ учнів. Знайти відсоток для сортування сміття та значення кутів $x$ і $y$ .

Розв’язання

Знайдемо відсоток учнів, що обирають сортування сміття: $\frac{72}{360} \cdot 100 % = 20 %$ .
Перевіримо суму відсотків для відомих секторів: «Сортування сміття» ( $20 %$ ), «Допомога іншим людям» ( $\frac{83}{360} \cdot 100 \approx 23, 06 %$ ), «Прибирання парків» ( $35 %$ ). Сума цих часток: $20 + 23, 06 + 35 = 78, 06 %$ .
Знайдемо відсоток для сектора «Створення нових» ( $x$ ): $100 - 78, 06 \approx 21, 94 %$ . Перевіримо це через кути: кут $x = (100 - (20 + 23, 06 + 35)) \cdot 3, 6 \approx 7 9^{\circ}$ . Оскільки в умові не вказано точний відсоток для «Допомоги», а лише кут $8 3^{\circ}$ , розрахуємо $y$ як різницю: $100 - (20 + 35) = 45 %$ . Кут $x$ знайдемо через повний коло: $x (градуси) = 360 - (72 + 83 + \frac{35}{100} \cdot 360) = 360 - (72 + 83 + 126) = 7 9^{\circ}$ . Тоді $y$ у відсотках: $100% - (20% + 35%) = 45%$ , що відповідає куту $\frac{45}{100} \cdot 360 = 16 2^{\circ}$ .

Відповідь:

Сортування сміття — $20 %$ ; значення $x \approx 7 9^{\circ}$ , $y = 45 %$ (або кут, що відповідає $y$ , якщо вимагався кут, то $16 2^{\circ}$ ).

Завдання 1072

Зростання виробництва за два роки

Виробництво зросло перший рік на $p %$ , другий — на $10%$ більше порівняно з попереднім (тобто загальне зростання другого року від початку становило $p + 10%$ ). За два роки загальне зростання склало $48, 59%$ . Знайти значення $p$ .

Розв’язання

Позначимо початкове виробництво через $V$ . Після першого року виробництво стане $V \cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
Другий рік зростання становить на $10%$ більше, ніж у попередньому році. Це означає, що відношення виробництва другого року до першого дорівнює $\frac{p + 10}{100} + 1 = \frac{p + 110}{100}$ .
Запишемо вираз для виробництва після другого року: $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100})$ .
За умовою загальне зростання за два роки становить $48, 59%$ , тобто $V_{2} = V \cdot (1 + \frac{48 , 59}{100}) = 1, 4859 V$ .
Складемо рівняння: $(1 + \frac{p}{100}) \cdot (\frac{p + 110}{100}) = 1, 4859$ . Розкриємо дужки та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $p$ : $\frac{( 100 + p ) ( p + 110 )}{10000} = 1, 4859 \Rightarrow p^{2} + 210 p + 11000 = 14859 \Rightarrow p^{2} + 210 p - 3859 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 21 0^{2} - 4 \cdot (- 3859) = 44100 + 15436 = 59536$ . $D = 244$ . $p = \frac{- 210 \pm 244}{2}$ . Отримуємо корені: $p_{1} = 17$ , $p_{2} = - 227$ . Оскільки відсоток зростання має бути додатним, залишаємо $p = 17$ .

Відповідь:

Зростання за перший рік становить $17%$ .

Завдання 1073

Розв'язання двох нерівностей

а) $(x - 1) (2 - x) > 0$ ; б) $(3 + x) (x + 7) < 0$ .

Розв’язання

а) Перетворимо $(x - 1) (2 - x) > 0$ на вигляд $- (x - 1) (x - 2) > 0$ , що еквівалентно $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Корені рівняння: $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Розв'язок між коренями: $1 < x < 2$ .
б) Знайдемо корені рівняння $(3 + x) (x + 7) = 0$ : $x_{1} = - 3, x_{2} = - 7$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між меншим і більшим коренем: $- 7 < x < - 3$ .

Відповідь:

а) $x \in (1; 2)$ ; б) $x \in (- 7; - 3)$ .