Завдання 1022, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1022

Сніжинка Коха (периметр)

Периметр рівностороннього трикутника дорівнює $3 a$ . Поділивши його сторону на три рівні відрізки, середній замінюємо ламаною з кутом $6 0^{\circ}$ (мал. 18.6, б). Потрібно записати послідовність периметрів сніжинок Коха та визначити, чи є вона прогресією.

Розв’язання

Перший член послідовності (рівносторонній трикутник зі стороною $a$ ): Периметр $P_{1} = 3 a$ .
Другий член (малюнок б): Кожну з 3 сторін замінено на ламану, що складається з 4 відрізків довжиною $\frac{a}{3}$ . Довжина нової "сторони" $= 4 \cdot \frac{a}{3} = \frac{4}{3} a$ . Кількість таких сторін залишається 3. Периметр $P_{2} = 3 \cdot \frac{4}{3} a = 4 a$ .
Третій член: Кожну з 12 сторін (бо їх стало більше) замінюють аналогічно. Довжина нової сторони $\frac{1}{3}$ від попередньої. Периметр $P_{3} = P_{2} \cdot \frac{4}{3} = 4 a \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} a$ .
Загальна послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ або $P_{k} = 3 a \cdot (\frac{4}{3})^{k - 1}$ , де $k$ — номер фігури.
Аналіз прогресії: Оскільки $\frac{P _{k + 1}}{P _{k}} = \frac{4}{3}$ (постійна величина), послідовність периметрів є геометричною прогресією з знаменником $q = \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

Послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ (формула $P_{k} = 3 a (\frac{4}{3})^{k - 1}$ ). Це геометрична прогресія.

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1022 с. 193

Сніжинка Коха (периметр)

Умова

Що треба знати

При кожному кроці побудови кожну зі сторін трикутника замінюють на ламану з 4 відрізків, довжина кожного з яких дорівнює $\frac{1}{3}$ від попередньої сторони. Отже, нова сторона має довжину $4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ від старої.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайдіть периметр першої фігури (трикутника). Потім знайдіть периметр другої фігури, порівняйте з першим. Продовжуйте логіку для третьої та загального випадку.

Розв’язання крок за кроком

Перший член послідовності (рівносторонній трикутник зі стороною $a$ ): Периметр $P_{1} = 3 a$ .
Другий член (малюнок б): Кожну з 3 сторін замінено на ламану, що складається з 4 відрізків довжиною $\frac{a}{3}$ . Довжина нової "сторони" $= 4 \cdot \frac{a}{3} = \frac{4}{3} a$ . Кількість таких сторін залишається 3. Периметр $P_{2} = 3 \cdot \frac{4}{3} a = 4 a$ .
Третій член: Кожну з 12 сторін (бо їх стало більше) замінюють аналогічно. Довжина нової сторони $\frac{1}{3}$ від попередньої. Периметр $P_{3} = P_{2} \cdot \frac{4}{3} = 4 a \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} a$ .
Загальна послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ або $P_{k} = 3 a \cdot (\frac{4}{3})^{k - 1}$ , де $k$ — номер фігури.
Аналіз прогресії: Оскільки $\frac{P _{k + 1}}{P _{k}} = \frac{4}{3}$ (постійна величина), послідовність периметрів є геометричною прогресією з знаменником $q = \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

Послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ (формула $P_{k} = 3 a (\frac{4}{3})^{k - 1}$ ). Це геометрична прогресія.

Розбір зрозумілий?