Завдання 1023, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1023

Доведення алгебраїчних тотожностей

а) $4 (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}) = n^{2} (n + 1)^{2}$ ;
б) $3 (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots) + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2)$ .

Розв’язання

Розв'язання а):
Запишемо ліву частину тотожності, використовуючи формулу суми кубів $k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ :
$4 \cdot (\frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4})$
Скорочуємо число 4 у чисельнику та знаменнику дробу:
$n^{2} (n + 1)^{2}$
Це рівно правої частині тотожності, отже, вона доведена.
Розв'язання б):
Розглянемо перший доданок у дужках: $k (k + 1) = k^{2} + k$ . Сума таких добутків від 1 до $n$ запишеться як:
$k = 1 \sum n (k^{2} + k) = (1^{2} + 1) + (2^{2} + 2) + \dots + (n^{2} + n)$
Розкриємо дужки в першому доданку початкового виразу: $3 (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1))$ .
Запишемо це як суму квадратів і лінійних членів, помножену на 3. Проте простіший шлях — розглянути загальний член $k (k + 1)$ та додати другий доданок $n (n + 1)$ .
Перепишемо вираз як суму добутків: $k = 1 \sum n k (k + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Помножимо на 3:
$3 (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}) = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2} + \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$
Виносимо спільний множник $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ за дужки:
$\frac{n ( n + 1 )}{2} (2 n + 1 + 3) = \frac{n ( n + 1 )}{2} (2 n + 4) = \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot 2 (n + 2)$
Скорочуємо на 2:
$n (n + 1) (n + 2)$
Це дорівнює правій частині тотожності.

Відповідь:

а) Тотожність доведена; б) Тотожність доведена.

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1023 с. 194

Доведення алгебраїчних тотожностей

Умова

а) $4 (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}) = n^{2} (n + 1)^{2}$ ;
б) $3 (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots) + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2)$ .

Що треба знати

Для доведення тотожності а) використаємо відому формулу суми кубів перших $n$ натуральних чисел: $k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ . Для тотожності б) скористаємося властивістю розбиття добутку на суму: $k (k + 1) = k^{2} + k$ , що дозволяє записати загальний член як суму квадратів і простих чисел.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) підставте відому формулу суми кубів у ліву частину рівності та спростіть вираз. Для пункту б) розкрийте дужки в першому доданку, скомбінуйте подібні доданки з другим і порівняйте отриманий результат з правою частиною рівності.

Розв’язання крок за кроком

Розв'язання а):
Запишемо ліву частину тотожності, використовуючи формулу суми кубів $k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ :
$4 \cdot (\frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4})$
Скорочуємо число 4 у чисельнику та знаменнику дробу:
$n^{2} (n + 1)^{2}$
Це рівно правої частині тотожності, отже, вона доведена.
Розв'язання б):
Розглянемо перший доданок у дужках: $k (k + 1) = k^{2} + k$ . Сума таких добутків від 1 до $n$ запишеться як:
$k = 1 \sum n (k^{2} + k) = (1^{2} + 1) + (2^{2} + 2) + \dots + (n^{2} + n)$
Розкриємо дужки в першому доданку початкового виразу: $3 (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1))$ .
Запишемо це як суму квадратів і лінійних членів, помножену на 3. Проте простіший шлях — розглянути загальний член $k (k + 1)$ та додати другий доданок $n (n + 1)$ .
Перепишемо вираз як суму добутків: $k = 1 \sum n k (k + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Помножимо на 3:
$3 (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}) = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2} + \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$
Виносимо спільний множник $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ за дужки:
$\frac{n ( n + 1 )}{2} (2 n + 1 + 3) = \frac{n ( n + 1 )}{2} (2 n + 4) = \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot 2 (n + 2)$
Скорочуємо на 2:
$n (n + 1) (n + 2)$
Це дорівнює правій частині тотожності.

Відповідь:

а) Тотожність доведена; б) Тотожність доведена.

Розбір зрозумілий?