Сторінка 194

Розв’язання

1. Розв'язання а):
   Запишемо ліву частину тотожності, використовуючи формулу суми кубів $\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$:
   $$4\cdot \left(\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}\right)$$
   Скорочуємо число 4 у чисельнику та знаменнику дробу:
   $$n^2(n+1{)}^2$$
   Це рівно правої частині тотожності, отже, вона доведена.

2. Розв'язання б):
   Розглянемо перший доданок у дужках: $k(k+1)=k^2+k$. Сума таких добутків від 1 до $n$ запишеться як:
   $$\sum _{k=1}^n(k^2+k)=(1^2+1)+(2^2+2)+\cdots +(n^2+n)$$
   Розкриємо дужки в першому доданку початкового виразу: $3(1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1))$.
   Запишемо це як суму квадратів і лінійних членів, помножену на 3. Проте простіший шлях — розглянути загальний член $k(k+1)$ та додати другий доданок $n(n+1)$.
   Перепишемо вираз як суму добутків: $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$. Помножимо на 3:
   $$3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+\frac{3n(n+1)}{2}$$
   Виносимо спільний множник $\frac{n(n+1)}{2}$ за дужки:
   $$\frac{n(n+1)}{2}(2n+1+3)=\frac{n(n+1)}{2}(2n+4)=\frac{n(n+1)}{2}\cdot 2(n+2)$$
   Скорочуємо на 2:
   $$n(n+1)(n+2)$$
   Це дорівнює правій частині тотожності.