ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 193

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1015–1022 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems

Завдання 1015

Рівняння з нескінченним рядом

Знайти значення $x$ , якщо $\frac{1}{x} + x + x^{2} + \dots + x^{4} + \dots = \frac{7}{2}$ , при умові $∣ x ∣ < 1$ .

Розв’язання

Сума прогресії дорівнює $S = \frac{\frac{1}{x}}{x - 1}$ . Прирівнюємо до заданого значення: $\frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{7}{2}$ .
Розв'язуємо рівняння: $2 = 7 x (x - 1) \Rightarrow 7 x^{2} - 7 x - 2 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 7 \cdot (- 2) = 121$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 11}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$ , $x_{2} = \frac{7 - 11}{14} = - \frac{4}{14} = - \frac{2}{7}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ : $\frac{9}{7} > 1$ (не підходить), $- \frac{2}{7} < 1$ (підходить).

Відповідь:

$x = - \frac{2}{7}$ .

Завдання 1016

Розв'язання рівняння з нескінченною сумою

Спростити вираз $1 + 2 x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + \dots$ при умові $∣ x ∣ < 1$ і знайти значення $x$ , якщо сума дорівнює $\frac{13}{6}$ .

Розв’язання

Запишемо сума як суму двох геометричних прогресій: $S = (1 + x^{2} + x^{4} + \dots) - (x^{3} + x^{5} + x^{7} + \dots)$ .
Знайдемо суму першої частини, де $a = 1$ і $q = x^{2}$ : $S_{1} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .
Знайдемо суму другої частини, де $a = x^{3}$ і $q = x^{2}$ : $S_{2} = \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Обчислимо загальну суму: $\frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}} = \frac{1 - x ^{3}}{1 - x ^{2}}$ .
Спростимо дріб, розклавши чисельник на множники $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ і знаменник як $(1 - x) (1 + x)$ : $\frac{( 1 - x ) ( 1 + x + x ^{2} )}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x}$ .
За умовою рівняння прирівнюємо отриманий вираз до $\frac{13}{6}$ і розв'язуємо відносно $x$ : $\frac{1 + x + x ^{2}}{1 + x} = \frac{13}{6} \Rightarrow 6 (1 + x + x^{2}) = 13 (1 + x) \Rightarrow 6 + 6 x + 6 x^{2} = 13 + 13 x \Rightarrow 6 x^{2} - 7 x - 7 = 0$ .
Знаходимо корені квадратного рівняння: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 7) = 49 + 168 = 217$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 + 217}{12}$ , $x_{2} = \frac{7 - 217}{12}$ .
Перевіряємо умову $∣ x ∣ < 1$ . Оскільки $217 > 14$ , то $\frac{7 + 14}{12} > 1$ , отже, перший корінь не підходить. Другий корінь менший за 1 за модулем.

Відповідь:

$x = \frac{7 - 217}{12}$

Завдання 1017

Сума членів послідовності

Знайти суму перших сорока членів послідовностей:
а) $\frac{41}{1 \cdot 2}, \frac{41}{2 \cdot 3}, \frac{41}{3 \cdot 4}, \dots, \frac{41}{n ( n + 1 )}, \dots$ ;
б) $\frac{3}{1 \cdot 4}, \frac{3}{4 \cdot 7}, \frac{3}{7 \cdot 10}, \dots, \frac{3}{( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 )}, \dots$ .

Розв’язання

Спрощуємо загальний член для випадку а): $\frac{41}{n ( n + 1 )} = 41 \cdot (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ .
Записуємо суму перших 40 членів: $S_{40} = 41 \cdot [(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{40} - \frac{1}{41})]$ .
Після скорочення залишається $S_{40} = 41 \cdot (1 - \frac{1}{41}) = 41 \cdot \frac{40}{41} = 40$ .
Спрощуємо загальний член для випадку б): $\frac{3}{( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 )} = \frac{3}{3} \cdot (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1}) = 1 \cdot (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})$ .
Записуємо суму перших 40 членів: $S_{40} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{3 \cdot 40 - 2} - \frac{1}{3 \cdot 40 + 1})$ .
Після скорочення залишається $S_{40} = 1 - \frac{1}{121} = \frac{120}{121}$ .

Відповідь:

а) 40; б) $\frac{120}{121}$ .

Завдання 1018

Спрощення виразів через розбиття на дрібки

а) $\frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{3}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ ;
б) $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )}$ .

Розв’язання

Пункт а) Зауважимо, що $\frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = 1 \cdot (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$ . Сума перетворюється на $(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})$ .
Після скорочення залишаються перший доданок і останній: $1 - \frac{1}{2 n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 1}$ .
Пункт б) Зауважимо, що $\frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2})$ . Сума перетворюється на $\frac{1}{3} [(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2})]$ .
Після скорочення залишається $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 n + 2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 n + 2 - 2}{2 ( 3 n + 2 )} = \frac{n}{2 ( 3 n + 2 )}$ .

Відповідь:

а) $\frac{2 n}{2 n + 1}$ ; б) $\frac{n}{2 ( 3 n + 2 )}$ .

Завдання 1019

Знаходження суми арифметичної прогресії змінного знаку

а) $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + n (- 1)^{n + 1} + \dots$ ;
б) $S = 1 - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + n^{2} (- 1)^{n + 1} + \dots$ .

Розв’язання

Пункт а) Це сума нескінченної послідовності, де знаменник $q = - 1$ . Оскільки $∣ q ∣ = 1$ , ця прогресія не збігається, сума нескінченного ряду не існує (вона коливається). Якщо розглядати як суму перших $n$ членів: парні доданки дають $- 2 + (- 4) + \dots$ , непарні $1 + 3 + \dots$ . Сума перших $2 k$ членів дорівнює $- k^{2}$ .
Пункт б) Запишемо загальний член як $n^{2} (- 1)^{n + 1}$ . Це не геометрична прогресія, а сума квадратів змінного знаку. Сума перших двох членів: $1 - 4 = - 3$ . Сума перших чотирьох: $(1 - 4) + (9 - 16) = - 10$ . Сума нескінченного ряду також не існує, оскільки доданки зростають за модулем.

Відповідь:

а) Нескінченна сума не існує (ряд розбігається); б) Нескінченна сума не існує (ряд розбігається).

Завдання 1020

Доведення тотожності та геометричний зміст

Довести, що $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n + (n - 1) + \dots + 3 + 2 + 1 = n^{2}$ . З'ясувати геометричний зміст за малюнком.

Розв’язання

Розглянемо ліву частину як суму двох послідовностей: $S = (1 + 2 + \dots + n) + ((n - 1) + \dots + 1)$ .
Першу дужку обчислимо за формулою: $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Другу дужку — це сума від $1$ до $n - 1$ , що дорівнює $\frac{( n - 1 ) n}{2}$ .
Складемо: $\frac{n ^{2} + n}{2} + \frac{n ^{2} - n}{2} = \frac{2 n ^{2}}{2} = n^{2}$ . Тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком): Квадрат зі стороною $n$ можна розбити на смуги: перша смуга має довжину $n$ , друга — $n - 1$ , і так далі, аж до останньої з одиничною довжиною. Сума довжин цих смуг (площа) дорівнює площі квадрата $n^{2}$ .

Відповідь:

Тотожність доведена; геометричний зміст — площа квадрата зі стороною $n$ , розбита на смуги зменшувальної довжини.

Завдання 1021

Доведення тотожності та геометричний зміст

Довести, що $8 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n) + 1 = (2 n + 1)^{2}$ . З'ясувати її геометричний зміст за малюнком 18.5.

Розв’язання

Запишемо суму арифметичної прогресії у дужках: $S_{n} = 1 + 2 + ... + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Підставимо цю суму в ліву частину рівняння: $8 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + 1 = 4 n (n + 1) + 1$ .
Розкриємо дужки та спростимо вираз: $4 n^{2} + 4 n + 1$ .
Зауважимо, що отриманий вираз є розкладом квадрата двочлена: $(2 n + 1)^{2}$ . Це і є права частина рівняння. Отже, тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком 18.5): Квадрат зі стороною $(2 n + 1)$ можна уявити як центральний квадрат $n \times n$ (площа $n^{2}$ ), дві смуги шириною $n$ та довжиною $2 n$ (сума площ $2 \cdot 2 n^{2} = 4 n^{2}$ ) та два квадрати $n \times n$ у кутах? Ні, краще так: квадрат $(2 n + 1)^{2}$ містить центральний квадрат розміром $(n - 1) \times (n - 1)$ ? Давайте подивимось на малюнок 18.5. Він показує розбиття квадрата на смуги. Сума чисел $1, 2, ..., n$ відповідає кількості клітинок у діагоналі або певній смузі. У цьому випадку рівність означає, що площа квадрата зі стороною $(2 n + 1)$ дорівнює сумі площ фігур, які можна сформувати з $8$ разів більшої за суму чисел від $1$ до $n$ плюс одиниця.

Відповідь:

Тотожність доведено: $(2 n + 1)^{2}$ . Геометричний зміст полягає в тому, що площа квадрата зі стороною $(2 n + 1)$ дорівнює сумі площ фігур, визначених через суму перших $n$ натуральних чисел.

Завдання 1022

Сніжинка Коха (периметр)

Периметр рівностороннього трикутника дорівнює $3 a$ . Поділивши його сторону на три рівні відрізки, середній замінюємо ламаною з кутом $6 0^{\circ}$ (мал. 18.6, б). Потрібно записати послідовність периметрів сніжинок Коха та визначити, чи є вона прогресією.

Розв’язання

Перший член послідовності (рівносторонній трикутник зі стороною $a$ ): Периметр $P_{1} = 3 a$ .
Другий член (малюнок б): Кожну з 3 сторін замінено на ламану, що складається з 4 відрізків довжиною $\frac{a}{3}$ . Довжина нової "сторони" $= 4 \cdot \frac{a}{3} = \frac{4}{3} a$ . Кількість таких сторін залишається 3. Периметр $P_{2} = 3 \cdot \frac{4}{3} a = 4 a$ .
Третій член: Кожну з 12 сторін (бо їх стало більше) замінюють аналогічно. Довжина нової сторони $\frac{1}{3}$ від попередньої. Периметр $P_{3} = P_{2} \cdot \frac{4}{3} = 4 a \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} a$ .
Загальна послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ або $P_{k} = 3 a \cdot (\frac{4}{3})^{k - 1}$ , де $k$ — номер фігури.
Аналіз прогресії: Оскільки $\frac{P _{k + 1}}{P _{k}} = \frac{4}{3}$ (постійна величина), послідовність периметрів є геометричною прогресією з знаменником $q = \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

Послідовність периметрів: $3 a, 4 a, \frac{16}{3} a, ...$ (формула $P_{k} = 3 a (\frac{4}{3})^{k - 1}$ ). Це геометрична прогресія.