ГДЗ · Алгебра · 9 клас
Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1006–1014 · 9 завдань
Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems
Знайти суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії за її початковими членами.
а) ;
б) .
Розв’язання
Варіант а):
- Перший член .
- Знаменник . Оскільки , то , прогресія збігається.
- Сума: .
- Рационалізуємо знаменник: .
Варіант б):
- Перший член .
- Знаменник . Оскільки , то .
- Сума: .
- Рационалізуємо: .
а) ; б) .
---
Записати нескінченно спадну геометричну прогресію, перший член якої , а сума всіх членів .
Розв’язання
Маємо рівність .
Розв'язуємо відносно : . Оскільки , прогресія дійсно нескінченно спадна.
Загальний член: .
Перші члени: , , і т. д.
Прогресія: ; загальний член .
---
Перший член нескінченно спадної геометричної прогресії на 8 більший, ніж другий (), а сума дорівнює 18 (). Знайти четвертий член .
Розв’язання
Запишемо систему рівнянь:
З другого рівняння виразимо : .
Підставимо це у перше рівняння: .
Спростимо: .
Розв'язуємо квадратне рівняння: , .
Корені: , .
Оскільки прогресія нескінченно спадна, , отже .
Знаходимо перший член: .
Знаходимо четвертий член: .
.
Дано нескінченно спадну геометричну прогресію, де сума її членів , а сума квадратів членів . Потрібно знайти перший член та знаменник .
Розв’язання
Запишемо формули для сум: та .
З першого рівняння виразимо : .
Підставимо це значення у друге рівняння: . Оскільки , скоротимо дріб на .
Отримаємо рівняння . Поділимо обидві частини на : , звідки , тобто .
Знайдемо перший член: .
Перший член , знаменник .
Дано нескінченно спадну геометричну прогресію з загальним членом . Потрібно знайти суму всіх її членів.
Розв’язання
Запишемо формулу n-го члена: .
Перший член прогресії (): .
Знаменник прогресії — це основа степеня при : .
Обчислимо суму за формулою: .
Скоротимо дріб і отримаємо результат: .
.
За малюнком (мал. 18.3), де зображено послідовність трикутників і кіл, знайти суму периметрів усіх трикутників та суму довжин усіх кіл. (Примітка: на сторінці відсутні числові дані для малюнка, наприклад, радіус або сторона першого трикутника, тому розв'язати чисельно неможливо).
Розв’язання
Оскільки малюнок не містить числових даних (сторони або радіус), ми можемо лише описати алгоритм розв'язання.
Позначимо периметр першого трикутника як та довжину кола як .
Припустимо, що фігури побудовані за принципом середин сторін (як у задачі 1000), тоді коефіцієнт подібності .
Сума периметрів: .
Сума довжин кіл: .
Сума периметрів дорівнює , сума довжин кіл — (де і — відповідно периметр та довжина кола першого трикутника, які не вказані в умові завдання).
Записати у вигляді звичайного дробу нескінченні періодичні десяткові дроби: а) ; б) ; в) ; г) .
Розв’язання
а) . Переведемо : . Отже, .
б) . Переведемо : . Отже, .
в) .
г) . Переведемо : . Отже, .
а) ; б) ; в) ; г) .
Записати у вигляді звичайного дробу числа: а) ; б) ; в) ; г) .
Розв’язання
а) .
б) .
в) .
г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
У 1833 К. Ґаусс винайшов електромагнітний телеграф і побудував модель для з'єднання кабінету Геттінгенського університету з обсерваторією. Потрібно встановити відповідність між числовими виразами (1–5) та їх значеннями (А–Д), а також визначити ім'я фізика, який стоїть поруч із К. Ґауссом на скульптурній композиції біля університету.
Розв’язання
а) . Це відповідає варіанту Г ().
б) . Це відповідає варіанту Б ().
в) . Це відповідає варіанту В ().
г) — помилка в обчисленні, перевіримо: . . — краще спростити: . . Спільний знаменник 495. . Перевіримо варіанти: А , Б , В , Г , Д . Помилка в умові або моєму розрахунку. Перевіримо ще раз: . . . Це відповідає варіанту Д ().
д) . Це відповідає варіанту А ().
Відповідність: 1–Г, 2–Б, 3–В, 4–Д, 5–А. Фізик поруч із Ґауссом — Вільгельм Вебер.
Відповідність: а) Г, б) Б, в) В, г) Д, д) А; ім'я фізика — Вільгельм Вебер.