ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 191

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 995–1005 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems

Завдання 995

Сума геометричної прогресії

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії за чотирма варіантами: а) $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$ ; б) $2 - \frac{2}{5} + \frac{2}{25} - \frac{2}{125} + \dots$ ; в) $16 - 8 + 4 - 2 + \dots$ ; г) $- 1 - \frac{3}{4} - \frac{9}{16} - \dots$ .

Розв’язання

а) $a_{1} = 1$ , $q = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$ . Оскільки $∣ \frac{1}{3} ∣ < 1$ , сума дорівнює $\frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$ .
б) $a_{1} = 2$ , $q = \frac{- 2/5}{2} = - \frac{1}{5}$ . Оскільки $∣ - \frac{1}{5} ∣ < 1$ , сума дорівнює $\frac{2}{1 - ( - 1/5 )} = \frac{2}{6/5} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ .
в) $a_{1} = 16$ , $q = \frac{- 8}{16} = - \frac{1}{2}$ . Оскільки $∣ - \frac{1}{2} ∣ < 1$ , сума дорівнює $\frac{16}{1 - ( - 1/2 )} = \frac{16}{3/2} = \frac{32}{3}$ .
г) $a_{1} = - 1$ , $q = \frac{- 3/4}{- 1} = \frac{3}{4}$ . Оскільки $∣ \frac{3}{4} ∣ < 1$ , сума дорівнює $\frac{- 1}{1 - 3/4} = \frac{- 1}{1/4} = - 4$ .

Відповідь:

а) $\frac{3}{2}$ ; б) $\frac{5}{3}$ ; в) $\frac{32}{3}$ ; г) $- 4$ .

Завдання 996

Сума прогресії Архімеда

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії: $1 + \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{3} + \dots$ .

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 1$ .
Знаменник $q = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$ .
Перевірка умови збіжності: $∣ \frac{1}{4} ∣ < 1$ , тому сума існує.
Обчислення суми: $S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

$\frac{4}{3}$ .

Завдання 997

Сума англійською мовою

Find the sum of the infinite geometric progression: а) $3 + \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots$ ; б) $6 + \frac{6}{10} + \frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + \dots$ .

Розв’язання

а) Перший член $a_{1} = 3$ . Знаменник $q = \frac{3/10}{3} = \frac{1}{10}$ . Сума: $S = \frac{3}{1 - 1/10} = \frac{3}{9/10} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$ .
б) Перший член $a_{1} = 6$ . Знаменник $q = \frac{6/10}{6} = \frac{1}{10}$ . Сума: $S = \frac{6}{1 - 1/10} = \frac{6}{9/10} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$ .

Відповідь:

а) $\frac{10}{3}$ ; б) $\frac{20}{3}$ .

Завдання 998

Перевод періодичних дробів

а) $0, 3333...$ ; б) $0, 6666...$ ; в) $0, 111111...$ ; г) $0, 131313...$ .

Розв’язання

а) $0, 333... = 0 + \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + ...$ . Тут $a_{1} = 0, 3$ , $q = 0, 1$ . Сума дробової частини: $\frac{0 , 3}{1 - 0 , 1} = \frac{0 , 3}{0 , 9} = \frac{1}{3}$ . Відповідь: $\frac{1}{3}$ .
б) $0, 666... = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{100} + ...$ . Тут $a_{1} = 0, 6$ , $q = 0, 1$ . Сума: $\frac{0 , 6}{1 - 0 , 1} = \frac{0 , 6}{0 , 9} = \frac{2}{3}$ . Відповідь: $\frac{2}{3}$ .
в) $0, 111... = 0 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + ...$ . Тут $a_{1} = 0, 1$ , $q = 0, 1$ . Сума: $\frac{0 , 1}{1 - 0 , 1} = \frac{0 , 1}{0 , 9} = \frac{1}{9}$ . Відповідь: $\frac{1}{9}$ .
г) $0, 1313... = 0 + \frac{13}{100} + \frac{13}{10000} + ...$ . Тут $a_{1} = 0, 13$ , $q = 0, 01$ . Сума: $\frac{0 , 13}{1 - 0 , 01} = \frac{0 , 13}{0 , 99} = \frac{13}{99}$ . Відповідь: $\frac{13}{99}$ .

Відповідь:

а) $\frac{1}{3}$ ; б) $\frac{2}{3}$ ; в) $\frac{1}{9}$ ; г) $\frac{13}{99}$ .

Завдання 999

Перевод періодичних дробів у знаки

а) $0, (4)$ ; б) $0, (5)$ ; в) $0, (12)$ ; г) $0, (25)$ .

Розв’язання

а) $0, (4) = 0 + \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$ . Відповідь: $\frac{4}{9}$ .
б) $0, (5) = 0 + \frac{5}{9} = \frac{5}{9}$ . Відповідь: $\frac{5}{9}$ .
в) $0, (12) = 0 + \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$ . Відповідь: $\frac{4}{33}$ .
г) $0, (25) = 0 + \frac{25}{99}$ . Відповідь: $\frac{25}{99}$ .

Відповідь:

а) $\frac{4}{9}$ ; б) $\frac{5}{9}$ ; в) $\frac{4}{33}$ ; г) $\frac{25}{99}$ .

Завдання 1000

Сума периметрів трикутників

Рівносторонній трикутник зі стороною $1 см$ . Вершинами наступних трикутників є середини сторін попередніх. Знайти суму периметрів усіх таких трикутників.

Розв’язання

Перший трикутник має сторону $a_{1} = 1 см$ . Його периметр $P_{1} = 3 \cdot 1 = 3 см$ .
Другий трикутник утворено з середин, тому його сторона $a_{2} = \frac{1}{2} см$ . Периметр $P_{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1, 5 см$ .
Це нескінченна геометрична прогресія з першим членом $a_{1} = 3$ та знаменником $q = \frac{1}{2}$ .
Сума периметрів: $S = \frac{3}{1 - 0 , 5} = \frac{3}{0 , 5} = 6 см$ .

Відповідь:

$6 см$ .

Завдання 1001

Подібна задача про квадрати

Дано квадрат зі стороною $1 см$ . Середини його сторін — вершини другого квадрата, середини сторін другого — вершини третього і т. д. (мал. 18.3). Знайди суму периметрів усіх цих квадратів.

Розв’язання

Перший квадрат має сторону $a_{1} = 1 см$ , отже його периметр $P_{1} = 4 \cdot 1 = 4 см$ .
Діагональ першого квадрата $d_{1} = 1^{2} + 1^{2} = 2 см$ . Сторона другого квадрата дорівнює половині цієї діагоналі: $a_{2} = \frac{2}{2} см$ .
Периметр другого квадрата $P_{2} = 4 \cdot a_{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 22 см$ . Знаменник прогресії периметрів: $q = \frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{2 2}{4} = \frac{2}{2}$ .
Сума всіх периметрів: $S = \frac{P _{1}}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{2}{2}} = \frac{8}{2 - 2}$ .
Розкриємо дужки в знаменнику і скоротимо на $2$ : $S = \frac{8 ( 2 + 2 )}{4 - 2} = 4 (2 + 2) = 8 + 42 см$ .

Відповідь:

$8 + 42 см$

Завдання 1002

Доведення рівності (Задача Орема)

Довести, що сума $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \dots = \frac{7}{4}$ .

Розв’язання

Перша прогресія: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ . Сума $S_{1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$ .
Друга прогресія: $\frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \dots$ . Тут $a_{1} = \frac{3}{8}$ , $q = \frac{1}{4}$ . Сума $S_{2} = \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$ .
Загальна сума: $S = S_{1} + S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .
Примітка: У умові завдання в підручнику є друкарська помилка у правій частині рівності (записано $\frac{7}{4}$ , але правильна сума дорівнює $\frac{3}{2}$ ). Оскільки ми розв'язуємо за логікою задачі, даємо правильний результат.

Відповідь:

Сума дорівнює $\frac{3}{2}$ (у підручнику вказано помилкове значення $\frac{7}{4}$ )

Завдання 1003

Сума нескінченної прогресії з коренями

Знайти суму нескінченного числа доданків: $(8 + 42) + (4 + 22) + (2 + 2) + \dots$ .

Розв’язання

Перша прогресія (цілі числа): $8 + 4 + 2 + \dots$ . Тут $a_{1} = 8$ , $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Сума $S_{1} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$ .
Друга прогресія (з коренем): $42 + 22 + 2 + \dots$ . Тут $a_{1} = 42$ , $q = \frac{2 2}{4 2} = \frac{1}{2}$ . Сума $S_{2} = \frac{4 2}{1 - \frac{1}{2}} = 82$ .
Загальна сума: $S = S_{1} + S_{2} = 16 + 82$ .

Відповідь:

$16 + 82$

Завдання 1004

Спрощення нескінченних сум

Дано, що $∣ a ∣ < 1$ та $∣ x ∣ < 1$ . Потрібно спростити нескінченні суми: а) $1 + a + a^{2} + a^{3} + \dots$ ; б) $1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а) це геометрична прогресія з $b_{1} = 1$ та $q = a$ . Сума дорівнює $\frac{1}{1 - a}$ .
Для пункту б) це геометрична прогресія з $b_{1} = 1$ та $q = - x$ (оскільки знаки чергуються). Сума дорівнює $\frac{1}{1 - ( - x )} = \frac{1}{1 + x}$ .

Відповідь:

а) $\frac{1}{1 - a}$ ; б) $\frac{1}{1 + x}$ .

Завдання 1005

Сума нескінченної геометричної прогресії

Знайти суму членів нескінченної геометричної прогресії для двох випадків: а) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \dots$ ; б) $1, π - 3, (π - 3)^{2}, \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а): $b_{1} = 1$ . Знаменник $q = \frac{1/ 2}{1} = \frac{1}{2}$ . Сума $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{2 - 1}$ . Рационалізуємо знаменник: $\frac{2 ( 2 + 1 )}{2 - 1} = 2 + 2$ .
Для пункту б): $b_{1} = 1$ . Знаменник $q = π - 3$ . Оскільки $π \approx 3, 14$ , то $q \approx 0, 14 < 1$ . Сума $S = \frac{1}{1 - ( π - 3 )} = \frac{1}{4 - π}$ .

Відповідь:

а) $2 + 2$ ; б) $\frac{1}{4 - π}$ .