Сторінка 190

Розв’язання

1. Запишемо всі числа: $-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6$.

2. Скоротимо пари протилежних чисел: $(-5+5)+(-4+4)+(-3+3)+(-2+2)+(-1+1)=0$.

3. Додамо залишилися числа: $0+0+6=6$.

Розв’язання

1. Оскільки $d=0$, то $a_1=a_2=\cdots =a_{100}=3$.

2. Знайдемо суму: $S=3\cdot 100$.

Розв’язання

1. Групуємо числа: $(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+(9-10)$.

2. Обчислюємо кожен дужковий вираз: $-1+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)$.

3. Додаємо отримані значення: $-5$.

Розв’язання

1. Записуємо формулу для суми арифметичної прогресії з першим членом 1 і різницею 1: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

2. Підставляємо $n=100$: $S_{100}=\frac{100\cdot (100+1)}{2}$.

3. Обчислюємо: $\frac{100\cdot 101}{2}=50\cdot 101=5050$.

Розв’язання

1. Розглядаємо пари чисел: $(-100+100)+(-99+99)+\cdots +(-1+1)+(0)$.

2. Кожна дужка дає в нуль, а число 0 не змінює суму.

3. Отже, загальна сума дорівнює $0$.

Розв’язання

1. Перевіряємо, чи є послідовність геометричною: $\frac{6}{2}=3$, $\frac{18}{6}=3$. Знаменник $q=3$.

2. Порівнюємо модуль знаменника з одиницею: $|3|>1$.

3. Оскільки знаменник більший за 1, сума прогресії нескінчена і не існує в звичайному розумінні.

Розв’язання

1. Перевіряємо перші два доданки для знаходження знаменника $q$: $\frac{a_2}{a_1}=\frac{0,5}{1}=0,5$. Оскільки $|0,5|<1$, сума існує.

2. Підставляємо значення $a_1=1$ та $q=0,5$ у формулу: $S=\frac{1}{1-0,5}=\frac{1}{0,5}$.

3. Обчислюємо результат ділення: $1:0,5=2$.

Розв’язання

1. Аналізуємо умову задачі: знаменник $q>1$.

2. Порівнюємо з критерієм існування суми: оскільки $|q|\ge 1$, прогресія розбігається.

3. Висновуємо, що сума нескінченної кількості таких доданків не існує (не є скінченим числом).

Розв’язання

1. Перевіряємо умову: $|q|<1$.

2. Висновуємо, що прогресія є нескінченно спадною (або зростаючою до нуля).

3. Відповідь полягає в тому, що сума дорівнює значенню, отриманому за формулою $S=\frac{a_1}{1-q}$.

Розв’язання

1. Підпункт а):
   - Перший член $a_1=1$.
   - Знаменник $q=\frac{2/3}{1}=\frac{2}{3}$. Оскільки $\left|\frac{2}{3}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

2. Підпункт б):
   - Перший член $a_1=1$.
   - Знаменник $q=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$. Оскільки $\left|\frac{1}{2}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

3. Підпункт в):
   - Перший член $a_1=9$.
   - Знаменник $q=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$. Оскільки $\left|-\frac{1}{3}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{9}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{4}{3}}=9\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{4}$.

4. Підпункт г):
   - Перший член $a_1=-8$.
   - Знаменник $q=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2}$. Оскільки $\left|-\frac{1}{2}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{-8}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-8}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-8}{\frac{3}{2}}=-8\cdot \frac{2}{3}=-\frac{16}{3}$.