Сторінка 189

Розв’язання

1. Перший член $a_1=3$. Знаменник $q=\frac{1}{3}$ (кожен наступний член утричі менший попереднього).

2. Оскільки $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, сума існує. Підставимо значення в формулу: $S=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}$.

3. Спростимо знаменник: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Отже, $S=\frac{3}{\frac{2}{3}}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$.

Розв’язання

1. Запишемо загальний член як різницю: $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$.

2. Підставимо це в суму і розкриємо дужки: $\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right)\right]$.

3. Скорочуємо проміжні доданки: залишаються лише перший і останній члени в дужках. Отримуємо $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n+3-3}{3(4n+3)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)}$.

Розв’язання

1. Запишемо розклад: $0,2(35)=\frac{2}{10}+\left(\frac{35}{1000}+\frac{35}{100000}+\dots \right)$.

2. Дужки містять нескінченну геометричну прогресію з $a_1=\frac{35}{1000}$ та знаменником $q=\frac{1}{10}$. Знайдемо її суму: $\frac{\frac{35}{1000}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{35}{1000}:\frac{9}{10}=\frac{35}{900}$.

3. Складемо частини: $\frac{2}{10}+\frac{35}{900}=\frac{180}{900}+\frac{35}{900}=\frac{215}{900}$.

4. Скоротимо дріб на 5: $\frac{215÷5}{900÷5}=\frac{43}{180}$.