ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П. — сторінка 188

Завдання 4

Сума квадратів натуральних чисел

Знайти суму квадратів $n$ перших натуральних чисел, тобто обчислити вираз $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ .

Розв’язання

Запишемо розклад куба двочлена у вигляді $3 a^{2} = (a + 1)^{3} - a^{3} - 3 a - 1$ і застосуємо його для чисел від 1 до $n$ .
Додамо почленно всі отримані рівності: ліві частини дадуть $3 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})$ , а в правій частині кубічні члени $(k + 1)^{3} - k^{3}$ скоротяться.
Залишиться вираз $(n + 1)^{3} - 3 k = 1 \sum n k - (3 n + n + 1)$ , який спростимо, підставивши формулу суми арифметичної прогресії для $\sum k$ .
Розв'яжемо отримане рівняння відносно шуканої суми квадратів та скоротимо дужки.

Відповідь:

$S = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ .