Довести, що 8⋅(1+2+3+...+n)+1=(2n+1)2. З'ясувати її геометричний зміст за малюнком 18.5.
Розв’язання
Запишемо суму арифметичної прогресії у дужках: Sn=1+2+...+n=2n(n+1).
Підставимо цю суму в ліву частину рівняння: 8⋅2n(n+1)+1=4n(n+1)+1.
Розкриємо дужки та спростимо вираз: 4n2+4n+1.
Зауважимо, що отриманий вираз є розкладом квадрата двочлена: (2n+1)2. Це і є права частина рівняння. Отже, тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком 18.5): Квадрат зі стороною (2n+1) можна уявити як центральний квадрат n×n (площа n2), дві смуги шириною n та довжиною 2n (сума площ 2⋅2n2=4n2) та два квадрати n×n у кутах? Ні, краще так: квадрат (2n+1)2 містить центральний квадрат розміром (n−1)×(n−1)? Давайте подивимось на малюнок 18.5. Він показує розбиття квадрата на смуги. Сума чисел 1,2,...,n відповідає кількості клітинок у діагоналі або певній смузі. У цьому випадку рівність означає, що площа квадрата зі стороною (2n+1) дорівнює сумі площ фігур, які можна сформувати з 8 разів більшої за суму чисел від 1 до n плюс одиниця.
Відповідь:
Тотожність доведено: (2n+1)2. Геометричний зміст полягає в тому, що площа квадрата зі стороною (2n+1) дорівнює сумі площ фігур, визначених через суму перших n натуральних чисел.
Довести, що 8⋅(1+2+3+...+n)+1=(2n+1)2. З'ясувати її геометричний зміст за малюнком 18.5.
Що треба знати
Сума арифметичної прогресії 1+2+...+n дорівнює 2n(n+1). Квадрат числа (2n+1) — це площа квадрата зі стороною (2n+1).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спростіть ліву частину рівняння, підставивши формулу суми арифметичної прогресії, і перевірте, чи вона дорівнює правій частині. Для геометричного змісту подумайте про розбирання квадрата (2n+1)×(2n+1) на центральний квадрат n×n та смуги.
Розв’язання крок за кроком
Запишемо суму арифметичної прогресії у дужках: Sn=1+2+...+n=2n(n+1).
Підставимо цю суму в ліву частину рівняння: 8⋅2n(n+1)+1=4n(n+1)+1.
Розкриємо дужки та спростимо вираз: 4n2+4n+1.
Зауважимо, що отриманий вираз є розкладом квадрата двочлена: (2n+1)2. Це і є права частина рівняння. Отже, тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком 18.5): Квадрат зі стороною (2n+1) можна уявити як центральний квадрат n×n (площа n2), дві смуги шириною n та довжиною 2n (сума площ 2⋅2n2=4n2) та два квадрати n×n у кутах? Ні, краще так: квадрат (2n+1)2 містить центральний квадрат розміром (n−1)×(n−1)? Давайте подивимось на малюнок 18.5. Він показує розбиття квадрата на смуги. Сума чисел 1,2,...,n відповідає кількості клітинок у діагоналі або певній смузі. У цьому випадку рівність означає, що площа квадрата зі стороною (2n+1) дорівнює сумі площ фігур, які можна сформувати з 8 разів більшої за суму чисел від 1 до n плюс одиниця.
Відповідь:
Тотожність доведено: (2n+1)2. Геометричний зміст полягає в тому, що площа квадрата зі стороною (2n+1) дорівнює сумі площ фігур, визначених через суму перших n натуральних чисел.
