Завдання 1020, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1020

Доведення тотожності та геометричний зміст

Довести, що $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n + (n - 1) + \dots + 3 + 2 + 1 = n^{2}$ . З'ясувати геометричний зміст за малюнком.

Розв’язання

Розглянемо ліву частину як суму двох послідовностей: $S = (1 + 2 + \dots + n) + ((n - 1) + \dots + 1)$ .
Першу дужку обчислимо за формулою: $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Другу дужку — це сума від $1$ до $n - 1$ , що дорівнює $\frac{( n - 1 ) n}{2}$ .
Складемо: $\frac{n ^{2} + n}{2} + \frac{n ^{2} - n}{2} = \frac{2 n ^{2}}{2} = n^{2}$ . Тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком): Квадрат зі стороною $n$ можна розбити на смуги: перша смуга має довжину $n$ , друга — $n - 1$ , і так далі, аж до останньої з одиничною довжиною. Сума довжин цих смуг (площа) дорівнює площі квадрата $n^{2}$ .

Відповідь:

Тотожність доведена; геометричний зміст — площа квадрата зі стороною $n$ , розбита на смуги зменшувальної довжини.

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 1020 с. 193

Доведення тотожності та геометричний зміст

Умова

Довести, що $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n + (n - 1) + \dots + 3 + 2 + 1 = n^{2}$ . З'ясувати геометричний зміст за малюнком.

Що треба знати

Сума арифметичної прогресії $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Тотожність показує, що сума чисел від $1$ до $n$ і назад дорівнює квадрату числа $n$ . Геометрично це площа квадрата зі стороною $n$ , розбитого на смуги.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй звести ліву частину рівняння до суми двох однакових сум, використовуючи формулу суми арифметичної прогресії. Для геометричного змісту уяви квадрат $n \times n$ , розбитий на смуги шириною $1$ .

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо ліву частину як суму двох послідовностей: $S = (1 + 2 + \dots + n) + ((n - 1) + \dots + 1)$ .
Першу дужку обчислимо за формулою: $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Другу дужку — це сума від $1$ до $n - 1$ , що дорівнює $\frac{( n - 1 ) n}{2}$ .
Складемо: $\frac{n ^{2} + n}{2} + \frac{n ^{2} - n}{2} = \frac{2 n ^{2}}{2} = n^{2}$ . Тотожність доведено.
Геометричний зміст (за малюнком): Квадрат зі стороною $n$ можна розбити на смуги: перша смуга має довжину $n$ , друга — $n - 1$ , і так далі, аж до останньої з одиничною довжиною. Сума довжин цих смуг (площа) дорівнює площі квадрата $n^{2}$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?