Ці суми є прикладами методу розбиття на дрібки (телескопічних сум). Загальний член виду A⋅(A+k)k можна подати як різницю двох дробів: k1(A1−A+k1). При підсумовуванні більшість доданків скорочуються.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для пункту а) знайди коефіцієнт, за яким треба розкласти дрібок на різницю двох простіших дробів, щоб чисельник став 2. Для пункту б) зроби те саме для чисельника 1.
Розв’язання крок за кроком
Пункт а) Зауважимо, що (2k−1)(2k+1)2=1⋅(2k−11−2k+11). Сума перетворюється на (1−31)+(31−51)+⋯+(2n−11−2n+11).
Після скорочення залишаються перший доданок і останній: 1−2n+11=2n+12n.
Пункт б) Зауважимо, що (3k−1)(3k+2)1=31(3k−11−3k+21). Сума перетворюється на 31[(21−51)+(51−81)+⋯+(3n−11−3n+21)].
Після скорочення залишається 31(21−3n+21)=31⋅2(3n+2)3n+2−2=2(3n+2)n.
